Упр.180 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что плоскость и не лежащая в ней прямая, перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны.

Подробный ответ

Докажем утверждение от противного.

Пусть $$n \not\parallel \alpha.$$ Тогда прямая $$n$$ пересекает плоскость $$\alpha$$ в некоторой точке $$A$$, то есть $$A \in n$$ и $$A \in \alpha$$.

Возьмём на прямой $$l$$ точку $$C$$ и проведём через неё прямую $$BC \perp l$$, где $$B \in n$$. Так как $$l \subset \alpha$$, а $$BC \perp l$$, то $$BC \perp \alpha$$.

Но по условию $$n \perp \beta$$, значит через точку $$B$$ к плоскости $$\beta$$ можно провести только одну прямую, перпендикулярную этой плоскости. Следовательно, $$BC$$ совпадает с прямой $$n$$.

Тогда через точку $$A \in n$$ к плоскости $$\alpha$$ можно провести прямую $$n$$, перпендикулярную этой плоскости. Это противоречит тому, что $$n \not\parallel \alpha$$.

Следовательно, наше предположение неверно, и прямая $$n$$ параллельна плоскости $$\alpha$$.