Упр.180 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что плоскость и не лежащая в ней прямая, перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны.

Докажем утверждение от противного.

Пусть $$n \not\parallel \alpha.$$ Тогда прямая $$n$$ пересекает плоскость $$\alpha$$ в некоторой точке $$A$$, то есть $$A \in n$$ и $$A \in \alpha$$.

Возьмём на прямой $$l$$ точку $$B$$ и проведём через неё прямую $$BC$$, перпендикулярную прямой $$n$$, где $$C \in l$$. Так как $$l \perp \beta$$ и $$n \perp \beta$$, то обе прямые $$l$$ и $$n$$ перпендикулярны одной и той же плоскости $$\beta$$.

Следовательно, через точку $$B$$ можно провести к прямой $$n$$ только одну перпендикулярную прямую. Но прямая $$BC$$ уже перпендикулярна $$n$$, значит, прямая $$l$$ должна совпадать с $$BC$$. Тогда $$l \perp n$$.

Получили, что через точку $$A \in \alpha$$ к прямой $$n$$ можно провести две различные перпендикулярные прямые, что невозможно. Противоречие показывает, что предположение неверно.

Значит, $$n \parallel \alpha$$.

Ответ: $$n \parallel \alpha$$.