Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.18 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В пирамиде $$DABC$$ известны длины рёбер: $$AB=AC=DB=DC=10$$, $$BC=DA=12$$. Найдите расстояние между прямыми $$DA$$ и $$BC$$.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$AB=AC=10$$, то он равнобедренный. Пусть $$E$$ — середина стороны $$BC$$. Тогда $$CE=BE=6$$, а отрезок $$AE$$ является высотой, то есть $$AE\perp BC$$.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$AEC$$:

$$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ADE$$. Так как $$AD=DC=12$$, а точка $$E$$ — середина $$BC$$, то в равнобедренном треугольнике $$ADC$$ отрезок $$DE$$ также является высотой, значит $$DE\perp AD$$. Следовательно, $$\triangle ADE$$ прямоугольный.

Тогда

$$DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{12^2-8^2}=\sqrt{144-64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}.$$

Искомое расстояние между прямыми $$DA$$ и $$BC$$ равно длине общего перпендикуляра $$EF$$, где $$F$$ — основание перпендикуляра из точки $$E$$ на $$AD$$. В прямоугольном треугольнике $$AEF$$ имеем $$AF=DF$$, значит $$F$$ — середина $$AD$$, а потому

$$AF=\frac{AD}{2}=6.$$

По теореме Пифагора в треугольнике $$AEF$$:

$$EF=\sqrt{AE^2-AF^2}=\sqrt{8^2-6^2}=\sqrt{64-36}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}.$$

Ответ: $$2\sqrt{7}$$.