Упр.179 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Плоскости а и p взаимно перпендикулярны. Через некоторую точку плоскости а проведена прямая, перпендикулярная к плоскости р. Докажите, что эта прямая лежит в плоскости а.

Подробный ответ

Докажем утверждение от противного.

Пусть прямая $$AB$$ не лежит в плоскости $$\alpha$$. Тогда через точку $$A$$ в плоскости $$\alpha$$ можно провести прямую $$AC$$, лежащую в плоскости $$\alpha$$ и перпендикулярную прямой пересечения плоскостей $$\alpha$$ и $$\beta$$.

Обозначим $$l=\alpha \cap \beta$$. Так как $$\alpha \perp \beta$$, то любая прямая плоскости $$\alpha$$, перпендикулярная $$l$$, перпендикулярна плоскости $$\beta$$. Следовательно, $$AC \perp \beta$$.

Но по условию $$AB \perp \beta$$. Значит, в плоскости $$\beta$$ через точку $$B$$ проходят две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой $$AC$$, что невозможно: через точку, не лежащую на прямой, можно провести к ней только одну перпендикулярную прямую.

Получили противоречие. Следовательно, предположение неверно, и прямая $$AB$$ лежит в плоскости $$\alpha$$.