Упр.179 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ взаимно перпендикулярны. Через некоторую точку плоскости $$\alpha$$ проведена прямая, перпендикулярная к плоскости $$\beta$$. Докажите, что эта прямая лежит в плоскости $$\alpha$$.

Пусть $$l=\alpha\cap\beta,$$ $$A\in\alpha,$$ $$A\notin\beta,$$ $$AB\perp\beta.$$ Докажем, что $$AB\subset\alpha.$$

Предположим противное: $$B\notin\alpha.$$ Тогда через точку $$B$$ в плоскости $$\alpha$$ можно провести прямую $$BC$$, перпендикулярную прямой $$l$$, где $$C\in l.$$

Так как плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ взаимно перпендикулярны, а $$l=\alpha\cap\beta,$$ то любая прямая плоскости $$\alpha,$$ перпендикулярная $$l,$$ перпендикулярна плоскости $$\beta.$$ Следовательно, $$BC\perp\beta.$$

Но через точку $$B$$ к плоскости $$\beta$$ можно провести только одну перпендикулярную прямую. Значит, $$AB$$ и $$BC$$ совпадают. Тогда $$B\in\alpha,$$ что противоречит предположению.

Следовательно, $$B\in\alpha,$$ а значит, и вся прямая $$AB$$ лежит в плоскости $$\alpha.$$

Ответ: $$AB\subset\alpha.$$