Упр.178 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой $$c$$. Докажите, что любая прямая плоскости $$\alpha$$, перпендикулярная к прямой $$c$$, перпендикулярна к плоскости $$\beta$$.

Проведём в плоскости $$\alpha$$ произвольную прямую $$AC$$, перпендикулярную прямой $$c$$, где $$C \in c$$. Докажем, что $$AC \perp \beta$$.

В плоскости $$\beta$$ через точку $$C$$ проведём прямую $$CB$$, перпендикулярную прямой $$c$$.

Так как $$AC \perp c$$ и $$CB \perp c$$, то угол $$\angle ACB$$ является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями $$\alpha$$ и $$\beta$$. По условию $$\alpha \perp \beta$$, значит, этот линейный угол прямой. Следовательно, $$AC \perp CB$$.

Итак, прямая $$AC$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$c$$ и $$CB$$, лежащим в плоскости $$\beta$$. Значит, $$AC \perp \beta$$.