Упр.176 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Через сторону $$AD$$ ромба $$ABCD$$ проведена плоскость $$ADM$$ так, что двугранный угол $$BADM$$ равен $$60^\circ$$. Найдите сторону ромба, если $$\angle BAD=45^\circ$$ и расстояние от точки $$B$$ до плоскости $$ADM$$ равно $$4\sqrt{3}$$.

Подробный ответ

Проведём через точку $$B$$ перпендикуляр $$BH$$ к прямой $$AD$$, где $$H \in AD$$. Тогда $$BH$$ лежит в плоскости ромба $$ABD$$ и является линейным углом двугранного угла $$BADM$$, поэтому

$$\angle BHM=60^\circ.$$

Из точки $$H$$ в плоскости $$ADM$$ проведём перпендикуляр $$HE$$ к прямой $$AD$$. Тогда $$HE \perp AD$$ и $$HE \subset (ADM)$$. По теореме о трёх перпендикулярах получаем $$BF \perp AD$$, где $$F \in HE$$, а значит $$BF$$ — расстояние от точки $$B$$ до плоскости $$ADM$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BHF$$. В нём

$$\sin 60^\circ=\frac{BF}{BH}.$$

Так как $$BF=4\sqrt{3}$$, то

$$BH=\frac{BF}{\sin 60^\circ}=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2}=8.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$. По условию $$\angle BAD=45^\circ$$, а значит $$\angle BAH=45^\circ$$. Тогда

$$\sin 45^\circ=\frac{BH}{AB}.$$

Следовательно,

$$AB=\frac{BH}{\sin 45^\circ}=\frac{8}{\sqrt{2}/2}=8\sqrt{2}.$$

Ответ: $$8\sqrt{2}$$.