Упр.175 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что если все ребра тетраэдра равны, то все его двугранные углы также равны. Найдите эти углы.

Подробный ответ

Пусть все рёбра тетраэдра $$ABCD$$ равны $$a$$. Докажем, что все его двугранные углы равны, и найдём их величину.

Рассмотрим двугранный угол при ребре $$AC$$. Построим точку $$M$$ — середину ребра $$AC$$. Тогда в равностороннем треугольнике $$ABC$$ отрезок $$BM$$ является медианой и высотой, значит $$BM \perp AC$$. Аналогично в равностороннем треугольнике $$ADC$$ отрезок $$DM$$ также перпендикулярен $$AC$$.

Следовательно, угол $$\angle BMD$$ является линейным углом двугранного угла при ребре $$AC$$.

Так как $$AB=BC=CD=DA=a$$, то треугольники $$ABC$$ и $$ADC$$ равносторонние, а потому все двугранные углы тетраэдра равны между собой.

Найдём угол $$\angle BMD$$. В треугольнике $$ABM$$:

$$AM=\frac{a}{2},$$
$$BM=\sqrt{AB^2-AM^2}=\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Аналогично $$DM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$. Теперь в треугольнике $$BMD$$ по теореме косинусов:

$$BD^2=BM^2+DM^2-2\cdot BM\cdot DM\cdot \cos \angle BMD.$$

Подставим значения:

$$a^2=\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2-2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \cos \angle BMD,$$
$$a^2=\frac{3a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}-\frac{3a^2}{2}\cos \angle BMD,$$
$$\frac{3a^2}{2}\cos \angle BMD=\frac{a^2}{2},$$
$$\cos \angle BMD=\frac{1}{3}.$$

Значит, линейный угол двугранного угла равен $$\arccos \frac{1}{3}$$. Следовательно, все двугранные углы правильного тетраэдра равны и каждый из них равен $$\arccos \frac{1}{3}$$.