Упр.175 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что если все ребра тетраэдра равны, то все его двугранные углы также равны. Найдите эти углы.

Пусть все ребра тетраэдра $$ABCD$$ равны $$a$$. Докажем, что все его двугранные углы равны, и найдем их величину.

Рассмотрим двугранный угол при ребре $$AC$$. Построим точку $$M$$ — середину ребра $$AC$$. Тогда в равностороннем треугольнике $$ABC$$ отрезок $$BM$$ является медианой, высотой и биссектрисой, значит $$BM \perp AC$$. Аналогично в равностороннем треугольнике $$ADC$$ имеем $$DM \perp AC$$.

Следовательно, угол между прямыми $$BM$$ и $$DM$$ равен линейному углу двугранного угла при ребре $$AC$$, то есть

$$\angle BMD$$ — линейный угол двугранного угла $$BACD$$.

Так как все грани тетраэдра — равносторонние треугольники, то все двугранные углы тетраэдра равны между собой.

Найдем величину этого угла. В треугольнике $$ABM$$:

$$AM=\frac{a}{2}, \qquad AB=a,$$

по теореме Пифагора

$$BM=\sqrt{AB^2-AM^2}=\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$BMD$$. Здесь

$$BM=DM=\frac{a\sqrt{3}}{2}, \qquad BD=a.$$

По теореме косинусов:

$$\cos \angle BMD= \frac{BM^2+DM^2-BD^2}{2\cdot BM \cdot DM} = \frac{3\frac{a^2}{4}+3\frac{a^2}{4}-a^2}{2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{a^2}{2}}{\frac{3a^2}{2}} = \frac{1}{3}.$$

Значит, линейный угол двугранного угла равен

$$\angle BMD=\arccos \frac{1}{3}.$$

Так как все двугранные углы тетраэдра равны, то каждый из них равен $$\arccos \frac{1}{3}$$.

Ответ: все двугранные углы равны, каждый из них равен $$\arccos \frac{1}{3}$$.