Упр.174 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите двугранный угол ABCD тетраэдра ABCD, если углы DAB, DAC и ACB прямые, AC = CB = 5, DB — 5V5.

Подробный ответ

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$DAB$$, $$DAC$$ и $$ACB$$.

По теореме Пифагора:

$$ DB^2=DA^2+AB^2=125, $$
$$ DC^2=DA^2+AC^2=DA^2+25, $$
$$ AB^2=AC^2+CB^2=25+25=50. $$

Тогда из первого и третьего равенств получаем:

$$ DA^2+50=125, $$
$$ DA^2=75. $$

Следовательно,

$$ DC^2=DA^2+25=75+25=100, $$
откуда $$DC=10$$.

Теперь рассмотрим треугольник $$DCB$$. По теореме Пифагора:

$$ DC^2+CB^2=100+25=125=DB^2. $$

Значит, $$\triangle DCB$$ прямоугольный, и $$DC \perp BC$$.

Так как $$AC \perp BC$$ по условию, то прямая $$BC$$ перпендикулярна плоскости $$ACD$$. Следовательно, двугранный угол $$ABCD$$ равен углу между прямыми $$AC$$ и $$CD$$, то есть $$\angle ACD$$.

В треугольнике $$ACD$$:

$$ \cos \angle ACD=\frac{AC}{CD}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}. $$

Отсюда

$$ \angle ACD=60^\circ. $$

Значит, двугранный угол $$ABCD$$ равен $$60^\circ$$.