Упр.174 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Найдите двугранный угол ABCD тетраэдра ABCD, если углы $$\angle DAB$$, $$\angle DAC$$ и $$\angle ACB$$ прямые, $$AC = CB = 5$$, $$DB = 5\sqrt{5}$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$DAB$$, $$DAC$$ и $$ACB$$.

По теореме Пифагора:

$$DA^2+AB^2=DB^2=125,$$
$$DA^2+AC^2=DC^2,$$
$$AB^2+AC^2=BC^2.$$

Так как $$AC=CB=5$$, то

$$BC^2=25,$$
$$AB^2+25=25 \cdot 2,$$
$$AB^2=25,$$

то есть $$AB=5$$.

Тогда из $$DA^2+AB^2=125$$ получаем

$$DA^2+25=125,$$
$$DA^2=100,$$
$$DA=10.$$

Из $$DA^2+AC^2=DC^2$$ находим

$$DC^2=100+25=125,$$
$$DC=5\sqrt{5}.$$

Рассмотрим треугольник $$DBC$$. В нём

$$DB^2=125,\quad DC^2=125,\quad BC^2=25.$$

Проверим:

$$BC^2+DC^2=25+125=150 \neq DB^2,$$

поэтому удобнее найти двугранный угол через линейный угол. Так как $$AC \perp BC$$ и $$AC \perp AD$$, то прямая $$AC$$ перпендикулярна плоскости $$DBC$$, а значит, угол между плоскостями $$ABC$$ и $$ADC$$ равен углу $$\angle ACD$$.

В прямоугольном треугольнике $$ACD$$:

$$\cos \angle ACD=\frac{AC}{CD}=\frac{5}{5\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}.$$

Следовательно,

$$\angle ACD=\arccos\frac{1}{\sqrt{5}}.$$

Ответ: $$\arccos\frac{1}{\sqrt{5}}$$.