Упр.173 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Ребро $$CD$$ тетраэдра $$ABCD$$ перпендикулярно к плоскости $$ABC$$, $$AB=BC=AC=6$$, $$BD=3\sqrt{7}$$. Найдите двугранные углы $$DACB$$, $$DABC$$, $$BDCA$$.
Так как $$CD \perp (ABC),$$ то прямая $$CD$$ перпендикулярна любой прямой плоскости $$ABC,$$ проходящей через точку $$C.$$
1) Рассмотрим двугранный угол $$DACB.$$ Его линейный угол — это угол между прямыми, перпендикулярными ребру $$AC$$ в гранях $$DAC$$ и $$BAC.$$ Поскольку $$CD \perp (ABC),$$ имеем $$CD \perp AC,$$ а в плоскости $$ABC$$ прямая $$BC \perp AC$$, так как $$AB=BC=AC=6$$ и треугольник $$ABC$$ равносторонний. Значит, линейный угол двугранного угла $$DACB$$ равен $$\angle DCB.$$
В треугольнике $$ACD$$ угол при $$C$$ прямой, поэтому
$$\angle DCB=\angle ACD=60^\circ.$$
Следовательно, $$\angle DACB=60^\circ.$$
2) Для двугранного угла $$DABC$$ проведём в равностороннем треугольнике $$ABC$$ медиану $$CM$$ к стороне $$AB.$$ Тогда $$CM \perp AB.$$
Так как $$CD \perp (ABC),$$ то $$CD \perp AB.$$ По теореме о трёх перпендикулярах из $$CM \perp AB$$ и $$CD \perp (ABC)$$ получаем $$DM \perp AB.$$ Значит, $$DM$$ — высота треугольника $$ABD$$, а поскольку $$M$$ — середина $$AB,$$ то $$\triangle ABD$$ равнобедренный.
Линейный угол двугранного угла $$DABC$$ равен $$\angle DMC.$$ Найдём его.
В треугольнике $$ABC$$
$$CM=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot AC=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 6=3\sqrt{3},$$
так как $$ABC$$ равносторонний.
Из прямоугольного треугольника $$BDC$$:
$$DC=\sqrt{BD^2-BC^2}=\sqrt{(3\sqrt7)^2-6^2}=\sqrt{63-36}=\sqrt{27}=3\sqrt3.$$
Тогда в треугольнике $$DMC$$
$$\sin \angle DMC=\frac{DC}{DM}=\frac{3\sqrt3}{3\sqrt6}=\frac{1}{\sqrt2},$$
откуда
$$\angle DMC=45^\circ.$$
Следовательно, $$\angle DABC=45^\circ.$$
3) Для двугранного угла $$BDCA$$ линейный угол равен углу между прямыми, перпендикулярными ребру $$DC$$ в гранях $$BDC$$ и $$ADC.$$ Так как $$BC \perp DC$$ и $$AC \perp DC,$$ то этим линейным углом является $$\angle BCA.$$
Но треугольник $$ABC$$ равносторонний, значит
$$\angle BCA=60^\circ.$$
Следовательно, $$\angle BDCA=60^\circ.$$
Ответ: $$\angle DACB=60^\circ,\ \angle DABC=45^\circ,\ \angle BDCA=60^\circ.$$
