Упр.172 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Катет $$AC$$ прямоугольного треугольника $$ABC$$ с прямым углом $$C$$ лежит в плоскости $$\alpha$$, а угол между плоскостями $$\alpha$$ и $$ABC$$ равен $$60^\circ$$. Найдите расстояние от точки $$B$$ до плоскости $$\alpha$$, если $$AC=5\ \text{см}$$, $$AB=13\ \text{см}$$.

Опустим из точки $$B$$ перпендикуляр $$BB_1$$ на плоскость $$\alpha$$. Тогда $$BB_1$$ — искомое расстояние от точки $$B$$ до плоскости $$\alpha$$.

Так как $$AC \subset \alpha$$ и $$\angle BCA=90^\circ$$, то по теореме о трёх перпендикулярах прямая $$BC$$ перпендикулярна прямой $$AC$$ в плоскости $$\alpha$$. Следовательно, угол между прямой $$BC$$ и плоскостью $$\alpha$$ равен $$\angle BCB_1=60^\circ$$.

Найдём сначала $$BC$$ из прямоугольного треугольника $$ABC$$:

$$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\text{ см}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$BCB_1$$. В нём

$$BB_1=BC\cdot \sin \angle BCB_1=12\cdot \sin 60^\circ=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\text{ см}.$$

Ответ: $$6\sqrt{3}\text{ см}$$.