Упр.171 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости $$\alpha$$, а катет наклонён к этой плоскости под углом $$30^\circ$$. Найдите угол между плоскостью $$\alpha$$ и плоскостью треугольника.

Пусть $$C_1$$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $$C$$ на плоскость $$\alpha$$, то есть $$CC_1 \perp \alpha$$. Тогда проекцией прямой $$BC$$ на плоскость $$\alpha$$ является прямая $$BC_1$$, а искомый угол между плоскостью треугольника $$ABC$$ и плоскостью $$\alpha$$ равен углу между прямой $$AB$$ и её проекцией на плоскость $$\alpha$$.

Так как треугольник $$ABC$$ прямоугольный равнобедренный, то $$\angle BCA=90^\circ$$ и $$AC=BC$$. Следовательно, $$\angle BAC=\angle CBA=45^\circ$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BCC_1$$. По условию $$\angle(BC,\alpha)=30^\circ$$, значит

$$CC_1=BC\sin 30^\circ=\frac{BC}{2}.$$

Пусть $$H$$ — основание перпендикуляра из точки $$C_1$$ на прямую $$AB$$, то есть $$C_1H\perp AB$$. Тогда угол между плоскостями равен углу $$\angle CHC_1$$ в прямоугольном треугольнике $$CHC_1$$.

В треугольнике $$ABC$$ имеем

$$CH=AC\sin 45^\circ=\frac{AC}{\sqrt{2}}=\frac{BC}{\sqrt{2}}.$$

Тогда

$$\sin \angle CHC_1=\frac{CC_1}{CH}=\frac{BC/2}{BC/\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Отсюда

$$\angle CHC_1=45^\circ.$$

Значит, угол между плоскостью $$\alpha$$ и плоскостью треугольника равен $$45^\circ$$.

Ответ: $$45^\circ$$.