Упр.170 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Из вершины $$B$$ треугольника $$ABC$$, сторона $$AC$$ которого лежит в плоскости $$\alpha$$, проведён к этой плоскости перпендикуляр $$BB_1$$. Найдите расстояния от точки $$B$$ до прямой $$AC$$ и до плоскости $$\alpha$$, если $$AB=2\text{ см}$$, $$\angle BAC=150^\circ$$ и двугранный угол $$BACB_1$$ равен $$45^\circ$$.
Опустим из точки $$B$$ перпендикуляр $$BH$$ на прямую $$AC$$. Тогда $$BH$$ — искомое расстояние от точки $$B$$ до прямой $$AC$$.
Рассмотрим треугольник $$ABH$$. Так как $$BH \perp AC$$, а $$AH \subset AC$$, то $$BH \perp AH$$, значит, $$\triangle ABH$$ прямоугольный.
Угол $$\angle BAH$$ равен $$180^\circ-150^\circ=30^\circ$$, поэтому
$$BH=AB\cdot \sin 30^\circ=2\cdot \frac12=1\text{ см}.$$
Теперь найдём расстояние от точки $$B$$ до плоскости $$\alpha$$. Это отрезок $$BB_1$$, где $$BB_1\perp \alpha$$.
Рассмотрим двугранный угол $$BACC_1$$, равный $$45^\circ$$. Линейный угол этого двугранного угла — угол между прямыми, перпендикулярными ребру $$AC$$ в соответствующих гранях. Поэтому в плоскости, перпендикулярной $$AC$$, получаем прямоугольный треугольник, в котором
$$\angle HB B_1=45^\circ,$$
а гипотенуза $$BH=1\text{ см}$$. Тогда
$$BB_1=BH\cdot \sin 45^\circ=1\cdot \frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{2}\text{ см}.$$
Ответ: $$1\text{ см},\ \frac{\sqrt2}{2}\text{ см}.$$
