Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.17 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Ребро $$AD$$ пирамиды $$DABC$$ перпендикулярно к плоскости $$ABC$$. Найдите расстояние от вершины $$A$$ до плоскости, проходящей через середины рёбер $$AB$$, $$AC$$ и $$AD$$, если $$AD=2\sqrt{5}$$, $$AB=AC=10$$, $$BC=4\sqrt{5}$$.

Пусть плоскость проходит через середины рёбер $$AB,$$ $$AC$$ и $$AD.$$ Обозначим середины этих рёбер через $$F,$$ $$E$$ и $$G$$ соответственно.

Тогда в треугольнике $$ABC$$ отрезок $$EF$$ — средняя линия, значит

$$EF \parallel BC,\qquad EF=\frac{BC}{2}.$$

Аналогично в треугольниках $$ABD$$ и $$ACD$$ получаем

$$FG \parallel DB,\qquad EG \parallel DC.$$

Следовательно, сечение $$EFG$$ подобно треугольнику $$BCD$$ с коэффициентом подобия $$\frac12$$. Поэтому расстояние от точки $$A$$ до плоскости сечения равно половине расстояния от точки $$A$$ до плоскости $$BCD$$.

Найдём объём пирамиды $$DABC$$ двумя способами.

Сначала вычислим площадь основания $$ABC$$. Так как $$AB=AC=10,$$ а $$BC=4\sqrt5,$$ то высота треугольника $$ABC$$ к основанию $$BC$$ равна

$$h_{ABC}=\sqrt{AB^2-\left(\frac{BC}{2}\right)^2} =\sqrt{10^2-(2\sqrt5)^2} =\sqrt{100-20} =4\sqrt5.$$

Тогда

$$S_{ABC}=\frac12\cdot BC\cdot h_{ABC} =\frac12\cdot 4\sqrt5\cdot 4\sqrt5 =40.$$

Теперь найдём площадь треугольника $$DBC.$$ Так как $$AD\perp ABC,$$ то

$$DB=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{(2\sqrt5)^2+10^2}=\sqrt{20+100}=\sqrt{120},$$

и аналогично $$DC=\sqrt{120}.$$ Значит, треугольник $$DBC$$ равнобедренный, а его высота к основанию $$BC$$ равна

$$h_{DBC}=\sqrt{DB^2-\left(\frac{BC}{2}\right)^2} =\sqrt{120-20} =10.$$

Тогда

$$S_{DBC}=\frac12\cdot BC\cdot h_{DBC} =\frac12\cdot 4\sqrt5\cdot 10 =20\sqrt5.$$

Объём пирамиды $$DABC$$ можно выразить через основание $$ABC$$ и высоту $$AD$$:

$$V=\frac13 S_{ABC}\cdot AD =\frac13\cdot 40\cdot 2\sqrt5 =\frac{80\sqrt5}{3}.$$

С другой стороны, если за основание взять треугольник $$DBC,$$ то

$$V=\frac13 S_{DBC}\cdot AH,$$

где $$AH$$ — расстояние от точки $$A$$ до плоскости $$DBC.$$ Тогда

$$\frac13\cdot 20\sqrt5\cdot AH=\frac{80\sqrt5}{3},$$

откуда

$$AH=4.$$

Плоскость, проходящая через середины рёбер $$AB,$$ $$AC$$ и $$AD,$$ отсекает от пирамиды подобную ей пирамиду с коэффициентом подобия $$\frac12,$$ значит искомое расстояние от точки $$A$$ до этой плоскости равно

$$AM=\frac12\,AH=\frac12\cdot 4=2.$$

Ответ: $$2$$.