Подготовка к ЕГЭ Задание 8 Упр.17 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите объём призмы, основанием которой является правильный шестиугольник со стороной, равной $$2$$, а боковое ребро равно $$2\sqrt{3}$$ и наклонено к плоскости основания под углом $$30^\circ$$.

В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен стороне, значит

$$OA=OB=AB=2.$$

Тогда площадь треугольника $$AOB$$:

$$S_{AOB}=\frac12 \cdot OA \cdot OB \cdot \sin \angle AOB =\frac12 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin 60^\circ =\sqrt{3}.$$

Найдём высоту призмы. Пусть $$H$$ — проекция точки $$C_1$$ на плоскость основания. Тогда в прямоугольном треугольнике $$CCH_1$$ угол между боковым ребром и плоскостью основания равен $$30^\circ$$, поэтому

$$\sin 30^\circ=\frac{C_1H}{CC_1}.$$

Подставим данные:

$$\frac12=\frac{C_1H}{2\sqrt3}, \qquad C_1H=\sqrt3.$$

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:

$$V=S_{\text{осн}} \cdot h=6\cdot \sqrt3 \cdot \sqrt3=18.$$

Ответ: 18.