Упр.168 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Двугранный угол равен ф. Ha одной грани этого угла лежит точка, удаленная на расстояние d от плоскости другой грани. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла.

Пусть $$AB$$ — ребро двугранного угла, $$\alpha$$ и $$\beta$$ — его грани, $$\angle(\alpha,\beta)=\varphi$$. Точка $$C$$ лежит на грани $$\alpha$$, причём расстояние от неё до плоскости $$\beta$$ равно $$d$$.

Опустим из точки $$C$$ перпендикуляр $$CA$$ на ребро $$AB$$. Тогда $$CA \perp AB$$ и, по теореме о трёх перпендикулярах, перпендикуляр к плоскости $$\beta$$, проведённый через точку $$A$$, будет перпендикулярен и прямой $$AB$$. Обозначим основание этого перпендикуляра через $$B$$. Тогда $$CB \perp AB$$, а значит, $$CB$$ — искомое расстояние от точки $$C$$ до ребра двугранного угла.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$CAB$$. Угол между плоскостями равен двугранному углу $$\varphi$$, поэтому

$$\sin\varphi=\frac{CA}{CB}.$$

Так как $$CA=d$$, получаем

$$CB=\frac{d}{\sin\varphi}.$$

Ответ

$$\frac{d}{\sin\varphi}$$