Упр.167 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B тетраэдре DABC все ребра равны, точка M — середина ребраАС. Докажите, что ZDMB — линейный угол двугранного угла BACD.

Подробный ответ

Рассмотрим грани $$\triangle ADC$$ и $$\triangle ABC$$ тетраэдра $$DABC$$. Так как все рёбра тетраэдра равны, то эти треугольники равносторонние.

Точка $$M$$ — середина ребра $$AC$$, значит $$DM$$ и $$BM$$ — медианы в равносторонних треугольниках $$ADC$$ и $$ABC$$ соответственно. В равностороннем треугольнике медиана является высотой, поэтому

$$DM \perp AC, \qquad BM \perp AC.$$

Прямые $$DM$$ и $$BM$$ лежат соответственно в плоскостях $$ACD$$ и $$ABC$$, проходят через точку $$M \in AC$$ и обе перпендикулярны линии пересечения этих плоскостей $$AC$$. Следовательно, угол $$\angle DMB$$ является линейным углом двугранного угла $$BACD$$.