Упр.167 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В тетраэдре DABC все рёбра равны, точка M — середина ребра AC. Докажите, что $$\angle DMB$$ — линейный угол двугранного угла BACD.

Рассмотрим грани $$\triangle ADC$$ и $$\triangle ABC$$. Так как тетраэдр правильный, то эти треугольники равносторонние. Точка $$M$$ — середина ребра $$AC$$, значит $$DM$$ и $$BM$$ — медианы в равносторонних треугольниках.

В равностороннем треугольнике медиана является также высотой, поэтому

$$DM \perp AC,\qquad BM \perp AC.$$

Прямые $$DM$$ и $$BM$$ лежат соответственно в плоскостях $$ACD$$ и $$ABC$$, проходят через точку $$M$$ и обе перпендикулярны линии их пересечения $$AC$$. Следовательно, угол $$\angle DMB$$ является линейным углом двугранного угла $$BACD$$.

Ответ: $$\angle DMB$$ — линейный угол двугранного угла $$BACD$$.