Упр.166 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Неперпендикулярные плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ пересекаются по прямой $$MN$$. В плоскости $$\beta$$ из точки $$A$$ проведён перпендикуляр $$AB$$ к прямой $$MN$$, и из той же точки $$A$$ проведён перпендикуляр $$AC$$ к плоскости $$\alpha$$. Докажите, что $$\angle ABC$$ — линейный угол двугранного угла $$AMNC$$.

Проведём через точку $$C$$ прямую $$CB$$, параллельную прямой $$MN$$. Тогда, так как $$AC \perp \alpha$$, а прямая $$AB$$ лежит в плоскости $$\beta$$ и является наклонной к плоскости $$\alpha$$, её проекцией на плоскость $$\alpha$$ будет прямая $$CB$$.

По теореме о трёх перпендикулярах из $$AB \perp MN$$ и $$CB \parallel MN$$ получаем, что $$AB \perp CB$$.

Кроме того, $$BC \parallel MN$$, а значит, угол $$\angle ABC$$ равен линейному углу двугранного угла с ребром $$MN$$, то есть двугранного угла $$AMNC$$.

Следовательно, $$\angle ABC$$ — линейный угол двугранного угла $$AMNC$$.

Ответ: $$\angle ABC$$ — линейный угол двугранного угла $$AMNC$$.