Упр.165 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Из точки $$A$$, удалённой от плоскости $$\gamma$$ на расстояние $$d$$, проведены к этой плоскости наклонные $$AB$$ и $$AC$$ под углом $$30^\circ$$ к плоскости. Их проекции на плоскость $$\gamma$$ образуют угол в $$120^\circ$$. Найдите $$BC$$.

Опустим из точки $$A$$ перпендикуляр $$AH$$ на плоскость $$\gamma$$. Тогда $$H$$ — проекция точки $$A$$ на плоскость, а проекции наклонных $$AB$$ и $$AC$$ на плоскость — это отрезки $$BH$$ и $$CH$$.

Так как угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и её проекцией, то

$$\angle ABH=30^\circ,\qquad \angle ACH=30^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABH$$ и $$ACH$$. У них

$$AH\perp \gamma,\quad AH\text{ — общая сторона},\quad \angle ABH=\angle ACH=30^\circ.$$

Следовательно, $$\triangle ABH \cong \triangle ACH$$, значит

$$BH=HC.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$BHC$$. По условию

$$\angle BHC=120^\circ,\qquad BH=HC.$$

По теореме косинусов:

$$BC^2=BH^2+HC^2-2\cdot BH\cdot HC\cos120^\circ.$$

Так как $$BH=HC$$ и $$\cos120^\circ=-\frac12$$, получаем

$$BC^2=BH^2+BH^2-2BH^2\left(-\frac12\right)=3BH^2,$$

то есть

$$BC=\sqrt3\,BH.$$

Найдём $$BH$$ из прямоугольного треугольника $$ABH$$. В нём

$$\angle ABH=30^\circ,\qquad AH=d,$$

поэтому

$$BH=AH\cdot \ctg30^\circ=d\sqrt3.$$

Тогда

$$BC=\sqrt3\cdot d\sqrt3=3d.$$

Ответ: $$BC=3d$$.