Упр.164 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Под углом $$\varphi$$ к плоскости $$\alpha$$ проведена наклонная. Найдите $$\varphi$$, если известно, что проекция наклонной вдвое меньше самой наклонной.

Угол между наклонной и плоскостью равен углу между наклонной и её проекцией на эту плоскость. Обозначим проекцию наклонной через $$MH$$, а саму наклонную — через $$AM$$.

Тогда в прямоугольном треугольнике $$AMH$$ имеем $$\angle AMH=\varphi$$ и $$\angle AHM=90^\circ$$, поэтому

$$\cos\varphi=\frac{MH}{AM}.$$

По условию $$MH$$ вдвое меньше $$AM$$, то есть

$$\frac{MH}{AM}=\frac{1}{2}.$$

Следовательно,

$$\cos\varphi=\frac{1}{2}.$$

Отсюда

$$\varphi=60^\circ.$$

Ответ: $$60^\circ$$.