Упр.163 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Наклонная AM, проведенная из точки A к данной плоскости, равна d. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если утол между прямойАМ и данной плоскостью равен: а) 45°; б) 60°; в) 30°?

Пусть $$H$$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $$A$$ на плоскость. Тогда $$MH$$ — проекция наклонной $$AM$$ на эту плоскость.

Угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и её проекцией, значит

$$\angle AMH=\varphi.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AMH$$: $$AH \perp \alpha$$, поэтому $$\angle AHM=90^\circ$$. Тогда

$$\cos\varphi=\frac{MH}{AM}.$$

Так как $$AM=d$$, получаем

$$MH=d\cos\varphi.$$

Теперь подставим значения угла:

а) $$MH=d\cos45^\circ=d\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{d\sqrt{2}}{2};$$

б) $$MH=d\cos60^\circ=d\cdot\frac{1}{2}=\frac{d}{2};$$

в) $$MH=d\cos30^\circ=d\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{d\sqrt{3}}{2}.$$

Ответ

а) $$\frac{d\sqrt{2}}{2}$$; б) $$\frac{d}{2}$$; в) $$\frac{d\sqrt{3}}{2}$$.