Упр.162 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Прямая $$MA$$ проходит через точку $$A$$ плоскости $$\alpha$$ и образует с этой плоскостью угол $$\varphi_0<90^\circ$$. Докажите, что $$\varphi_0$$ является наименьшим из всех углов, которые прямая $$MA$$ образует с прямыми, проведёнными в плоскости $$\alpha$$ через точку $$A$$.
Обозначим через $$H$$ основание перпендикуляра, опущенного из точки $$M$$ на плоскость $$\alpha$$. Возьмём произвольную прямую $$p$$ в плоскости $$\alpha$$, проходящую через точку $$A$$ и отличную от прямой $$AH$$, и обозначим через $$\varphi$$ угол между прямыми $$MA$$ и $$p$$.
Проведём из точки $$M$$ перпендикуляр $$MN$$ к прямой $$p$$. Если $$N=A$$, то $$\varphi=90^\circ$$, а значит, $$\varphi>\varphi_0$$.
Рассмотрим случай, когда точки $$A$$ и $$N$$ не совпадают. Тогда треугольники $$ANM$$ и $$AHM$$ прямоугольные, причём $$AM$$ — их общая гипотенуза. Поэтому
$$\sin \varphi=\frac{MN}{AM}, \qquad \sin \varphi_0=\frac{MH}{AM}.$$
Так как $$MN$$ — наклонная к плоскости $$\alpha$$, а $$MH$$ — перпендикуляр к этой плоскости, то $$MN>MH$$. Следовательно,
$$\sin \varphi>\sin \varphi_0.$$
Оба угла $$\varphi$$ и $$\varphi_0$$ острые, значит из неравенства их синусов следует
$$\varphi>\varphi_0.$$
Итак, угол $$\varphi_0$$ меньше любого угла, который прямая $$MA$$ образует с прямыми плоскости $$\alpha$$, проходящими через точку $$A$$.
Ответ
$$\varphi_0$$ — наименьший из всех таких углов.
