Упр.162 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Прямая MA проходит через точку A плоскости а и образует с этой плоскостью угол ф0 * 90°. Докажите, что ф0 является наименьшим из всех углов, которые прямая MA образует с прямыми, проведенными в плоскости а через точку А. Решение Обозначим буквой H основание перпендикуляра, проведенного из точки M к плоскости а, и рассмотрим произвольную прямую p в плоскости а, проходящую через точку A и отличную от прямой АН. Угол между прямыми AM и p обозначим через ф (рис. 57) и докажем, что ф > ф0. Из точки M проведем перпендикуляр MN к прямой р. Если точка N совпадает с точкой А, то ф = 90° и поэтому ф > ф0. Рассмотрим случай, когда точки A и N не совпадают (см. рис. 57). Отрезок AM — общая гипотенуза прямоугольных треугольников ANM и AHM, поэтому sin ф = 444, sin ф0 = 4r^r- Так AM AM как MN > MH (MN — наклонная, MH — перпендикуляр), то из этих двух равенств следует, что sin ф > sin ф0 и поэтому ф > ф0.

Подробный ответ

Обозначим через $$H$$ основание перпендикуляра, опущенного из точки $$M$$ на плоскость $$\alpha$$. Возьмём произвольную прямую $$p$$ в плоскости $$\alpha$$, проходящую через точку $$A$$ и отличную от прямой $$AH$$. Пусть угол между прямыми $$MA$$ и $$p$$ равен $$\varphi$$, а угол между прямой $$MA$$ и плоскостью $$\alpha$$ равен $$\varphi_0$$. Докажем, что $$\varphi>\varphi_0$$.

Из точки $$M$$ опустим перпендикуляр $$MN$$ на прямую $$p$$. Если $$N=A$$, то $$\varphi=90^\circ$$, а значит, $$\varphi>\varphi_0$$, так как по условию $$\varphi_0\ne 90^\circ$$.

Рассмотрим случай, когда точки $$A$$ и $$N$$ не совпадают. Тогда треугольники $$ANM$$ и $$AHM$$ прямоугольные, причём $$AM$$ — их общая гипотенуза. Поэтому

$$ \sin \varphi=\frac{MN}{AM}, \qquad \sin \varphi_0=\frac{MH}{AM}. $$

Так как $$MN>MH$$: отрезок $$MN$$ — наклонная к прямой $$p$$, а $$MH$$ — перпендикуляр к плоскости $$\alpha$$, то

$$ \sin \varphi>\sin \varphi_0. $$

Оба угла $$\varphi$$ и $$\varphi_0$$ острые, значит из неравенства их синусов следует

$$ \varphi>\varphi_0. $$

Следовательно, угол $$\varphi_0$$ является наименьшим из всех углов, которые прямая $$MA$$ образует с прямыми, проведёнными в плоскости $$\alpha$$ через точку $$A$$.