Упр.161 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Луч $$BA$$ не лежит в плоскости неразвернутого угла $$CBD$$. Докажите, что если $$\angle ABC=\angle ABD$$, причем $$\angle ABC<90^\circ$$, то проекцией луча $$BA$$ на плоскость $$CBD$$ является биссектриса угла $$CBD$$.

Подробный ответ

Пусть $$\alpha$$ — плоскость угла $$CBD$$. Опустим из точки $$A$$ перпендикуляр $$AH$$ на плоскость $$\alpha$$. Тогда точка $$H$$ — проекция точки $$A$$ на плоскость $$CBD$$.

В плоскости $$\alpha$$ проведём через $$H$$ прямые $$HM \perp BD$$ и $$H_1M_1 \perp BC$$. Тогда, так как $$HM \perp BD$$ и $$AH \perp \alpha$$, получаем $$AH \perp BD$$. Следовательно, прямая $$BD$$ перпендикулярна плоскости $$ABH$$, а значит $$BD \perp BH$$. Аналогично из $$H_1M_1 \perp BC$$ следует $$BC \perp BH_1$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABH$$ и $$ABH_1$$. У них:

$$AB$$ — общая гипотенуза;
$$\angle ABH=\angle ABC$$, $$\angle ABH_1=\angle ABD$$;
по условию $$\angle ABC=\angle ABD$$.

Значит, $$\triangle ABH \cong \triangle ABH_1$$ по гипотенузе и острому углу. Отсюда $$BH=BH_1$$.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $$BMH$$ и $$BMH_1$$. У них:

$$BM$$ — общая гипотенуза;
$$BH=BH_1$$;
$$\angle BHM=\angle BH_1M_1=90^\circ$$.

Следовательно, $$\triangle BMH \cong \triangle BMH_1$$, поэтому $$\angle MBH=\angle HBD$$.

Но луч $$BM$$ является проекцией луча $$BA$$ на плоскость $$CBD$$, а значит угол между проекцией $$BM$$ и сторонами $$BC$$ и $$BD$$ равен соответствующим углам при вершине $$B$$. Так как $$\angle ABC=\angle ABD$$, то $$BM$$ делит угол $$CBD$$ пополам.

Итак, проекцией луча $$BA$$ на плоскость $$CBD$$ является биссектриса угла $$CBD$$.