Упр.161 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Луч BA не лежит в плоскости неразвернутого угла CBD. Докажите, что если ZABC = ZABD, причем ZABC < 90°, то проекцией луча BA на плоскость CBD является биссектриса угла CBD.

Подробный ответ

Обозначим через $$H$$ основание перпендикуляра, опущенного из точки $$A$$ на плоскость $$CBD$$. Тогда $$AH \perp (CBD)$$, а точка $$H$$ — проекция точки $$A$$ на эту плоскость.

Проведём в плоскости $$CBD$$ прямую $$BM$$ так, чтобы $$BM$$ была проекцией луча $$BA$$ на эту плоскость. Тогда достаточно доказать, что $$BM$$ — биссектриса угла $$CBD$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABH$$ и $$ABH_1$$, где $$H_1$$ — основание перпендикуляра из $$H$$ на $$BC$$. Так как $$\angle ABC=\angle ABD$$ и $$\angle ABC<90^\circ$$, то луч $$BA$$ образует с прямыми $$BC$$ и $$BD$$ равные острые углы. Следовательно, в прямоугольных треугольниках $$ABH$$ и $$ABH_1$$:

$$AB$$ — общая гипотенуза,
$$\angle ABH=\angle ABH_1,$$

значит, $$\triangle ABH \cong \triangle ABH_1$$ по гипотенузе и острому углу. Отсюда

$$BH=BH_1.$$

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $$BMH$$ и $$BMH_1$$. У них:

$$BM$$ — общая сторона,
$$BH=BH_1,$ $$\angle BHM=\angle BH_1M=90^\circ.
$$

Следовательно, $$\triangle BMH \cong \triangle BMH_1$$ по двум сторонам и углу между ними. Значит, соответствующие углы равны:

$$\angle MBH=\angle HBM_1.$$

Но эти углы являются частями угла $$CBD$$, поэтому

$$\angle CBM=\angle MBD.$$

Следовательно, луч $$BM$$ делит угол $$CBD$$ пополам, то есть является его биссектрисой. А значит, проекция луча $$BA$$ на плоскость $$CBD$$ — биссектриса угла $$CBD$$.