Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.16 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Через точку $$M$$, лежащую вне окружности с центром $$O$$ и радиусом $$R$$, проведены касательные $$MA$$ и $$MB$$ к этой окружности ($$A$$ и $$B$$ — точки касания). Прямые $$OA$$ и $$MB$$ пересекаются в точке $$C$$. Найдите $$OC$$, если известно, что отрезок $$OM$$ делится окружностью пополам.

Так как отрезок $$OM$$ делится окружностью пополам, то точка пересечения луча $$OM$$ с окружностью — это середина отрезка $$OM$$. Следовательно, если радиус окружности равен $$R$$, то

$$OE=ME=R,$$

а значит,

$$OM=OE+EM=2R.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOM$$. Поскольку $$OA\perp MA$$, то $$\angle OAM=90^\circ$$, и

$$\sin \angle OMA=\frac{OA}{OM}=\frac{R}{2R}=\frac12.$$

Отсюда

$$\angle OMA=30^\circ.$$

Тогда угол между касательными $$MA$$ и $$MB$$ равен

$$\angle CMA=2\angle OMA=60^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$AOM$$ найдем $$MA$$:

$$\tan \angle OMA=\frac{OA}{MA}$$

значит

$$MA=\frac{OA}{\tan 30^\circ}=\frac{R}{1/\sqrt{3}}=R\sqrt{3}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$CMA$$. В нем

$$CA=MA\cdot \tan 60^\circ=R\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3R.$$

Точки $$C, O, A$$ лежат на одной прямой, поэтому

$$CO=CA-OA=3R-R=2R.$$

Ответ: $$2R$$.