Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.16 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Основание пирамиды DABC — равнобедренный треугольник ABC, в котором $$AB=BC=13$$, $$AC=24$$. Ребро DB перпендикулярно к плоскости основания и равно $$20$$. Найдите тангенс двугранного угла $$DACB$$.

Так как $$AB=BC,$$ то треугольник $$ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC.$$ Следовательно, медиана $$BE$$ к основанию является и высотой, значит $$BE\perp AC$$, а точка $$E$$ — середина отрезка $$AC$$.

Найдём $$BE$$:

$$AE=CE=\frac{AC}{2}=\frac{24}{2}=12,$$

$$BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5.$$

Рассмотрим треугольник $$DBC.$$ Так как $$BD\perp (ABC),$$ то $$BD\perp BC$$, значит треугольник $$DBC$$ прямоугольный при $$B.$$ Кроме того, $$AB=BC,$$ поэтому точка $$B$$ равноудалена от $$A$$ и $$C$$, а значит в равнобедренном треугольнике $$ADC$$ прямая $$DE$$, проведённая через вершину $$D$$ к середине основания $$AC,$$ перпендикулярна $$AC.$$

Искомый двугранный угол $$DACB$$ измеряется углом между прямыми $$DE$$ и $$BE,$$ перпендикулярными ребру $$AC$$ в гранях $$DAC$$ и $$BAC$$ соответственно. Значит, нужно найти $$\tan \angle DEB.$$

В прямоугольном треугольнике $$DBE$$:

$$\tan \angle DEB=\frac{BD}{BE}=\frac{20}{5}=4.$$

Ответ: $$4$$.