Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.16 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Через точку М, лежащую вне окружности с центром О и радиусом R, проведены касательные МА и МВ к этой окружности (А и В — точки касания). Прямые ОА и МВ пересекаются в точке С. Найдите ОС, если известно, что отрезок ОМ делится окружностью пополам.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOM$$: так как $$MA$$ — касательная, то $$OA \perp MA$$, значит $$\angle OAM=90^\circ$$.

По условию отрезок $$OM$$ делится окружностью пополам, то есть точка пересечения $$OM$$ с окружностью — середина этого отрезка. Обозначим её через $$E$$. Тогда $$OE=EM$$, а значит

$$OM=OE+EM=R+R=2R.$$

Следовательно,

$$ \sin \angle OMA=\frac{OA}{OM}=\frac{R}{2R}=\frac12, $$

откуда $$\angle OMA=30^\circ$$.

Тогда угол между касательными $$MA$$ и $$MB$$ равен

$$\angle CMA=2\angle OMA=60^\circ.$$

Найдём $$MA$$ из треугольника $$AOM$$:

$$ \tan \angle OMA=\frac{OA}{MA}, $$

значит

$$ MA=\frac{OA}{\tan 30^\circ}=\frac{R}{1/\sqrt3}=R\sqrt3. $$

Теперь рассмотрим треугольник $$CMA$$. В нём $$\angle CMA=60^\circ$$, поэтому

$$ CA=MA\cdot \tan 60^\circ=R\sqrt3\cdot \sqrt3=3R. $$

Так как точки $$C, O, A$$ лежат на одной прямой и $$O$$ находится между $$C$$ и $$A$$, то

$$ CO=CA-OA=3R-R=2R. $$

Ответ

$$2R$$