Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.16 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основание пирамиды DABC — равнобедренный треугольник АВС, в котором AB=BC=13, AC=24. Ребро DB перпендикулярно к плоскости основания и равно 20. Найдите тангенс двугранного угла DACB.

Так как $$AB=BC$$, то треугольник $$ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$. Следовательно, медиана $$BE$$ к основанию является также высотой:

$$AE=CE,\quad BE\perp AC.$$

Найдём $$AE$$:

$$AE=\frac{AC}{2}=\frac{24}{2}=12.$$

Тогда по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$ABE$$:

$$BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5.$$

Рассмотрим треугольник $$DBC$$. Так как $$BD\perp (ABC)$$, то $$BD\perp BC$$ и $$BD\perp BA$$. Кроме того, $$AB=BC$$, значит точка $$B$$ равноудалена от $$A$$ и $$C$$, а в равнобедренном треугольнике $$ADC$$ также выполняется $$AD=CD$$. Поэтому прямая $$DE$$ является высотой к основанию $$AC$$, то есть $$DE\perp AC$$.

Двугранный угол $$DACB$$ измеряется углом между прямыми, перпендикулярными ребру $$AC$$ в гранях $$DAC$$ и $$BAC$$, то есть углом $$\angle DEB$$. В прямоугольном треугольнике $$DBE$$:

$$\tan \angle DEB=\frac{BD}{BE}=\frac{20}{5}=4.$$

Ответ

$$4$$