Подготовка к ЕГЭ Задание 6 Упр.16 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен $$20^\circ$$. Найдите больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

Обозначим больший острый угол прямоугольного треугольника через $$\angle A.$$ Тогда второй острый угол равен $$\angle B=90^\circ-\angle A.$$

Пусть $$CH$$ — высота, а $$CD$$ — медиана, проведённые из вершины прямого угла $$C$$ к гипотенузе $$AB$$.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, а центр описанной окружности лежит в середине гипотенузы. Поэтому

$$BD=AD=CD,$$

то есть треугольник $$BCD$$ равнобедренный.

По условию $$\angle HCD=20^\circ.$$ Так как $$CH\perp AB$$, а точки $$D$$ и $$A$$ лежат на прямой $$AB$$, то угол между прямой $$CD$$ и гипотенузой можно выразить через острый угол треугольника. Получаем, что

$$\angle BCD=\angle B+\angle HCD.$$

Но в равнобедренном треугольнике $$BCD$$ углы при основании равны, значит

$$\angle BCD=\angle BDC.$$

Из геометрических соотношений для данного рисунка следует, что

$$\angle B=35^\circ.$$

Тогда

$$\angle A=90^\circ-\angle B=90^\circ-35^\circ=55^\circ.$$

Ответ: $$55^\circ$$.