Упр.159 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Прямая $$BM$$ перпендикулярна к плоскости прямоугольника $$ABCD$$. Докажите, что прямая, по которой пересекаются плоскости $$ADM$$ и $$BCM$$, перпендикулярна к плоскости $$ABM$$.

Пусть прямая пересечения плоскостей $$ADM$$ и $$BCM$$ — это прямая $$a$$. Докажем, что $$a \perp (ABM)$$.

Так как $$ABCD$$ — прямоугольник, то $$AB \parallel CD$$ и $$BC \parallel AD$$. Кроме того, по условию $$BM \perp (ABCD)$$, значит $$BM \perp AB$$ и $$BM \perp BC$$.

Рассмотрим плоскость $$BCM$$. В ней лежит прямая $$BC$$, а в плоскости $$ADM$$ лежит прямая $$AD$$, причём $$BC \parallel AD$$. Следовательно, линия пересечения плоскостей $$ADM$$ и $$BCM$$ параллельна этим прямым, то есть

$$a \parallel BC \parallel AD.$$

Так как $$BC \perp AB$$ и $$BC \perp BM$$, а прямые $$AB$$ и $$BM$$ пересекаются и лежат в плоскости $$ABM$$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости получаем:

$$BC \perp (ABM).$$

Поскольку $$a \parallel BC$$, то прямая $$a$$ тоже перпендикулярна плоскости $$ABM$$.

Ответ: $$a \perp (ABM)$$.