Упр.158 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Через вершину $$B$$ ромба $$ABCD$$ проведена прямая $$BM$$, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки $$M$$ до прямых, содержащих стороны ромба, если $$AB=25\ \text{см}$$, $$\angle BAD=60^\circ$$, $$BM=12{,}5\ \text{см}$$.

Так как $$BM \perp (ABCD),$$ то прямая $$BM$$ перпендикулярна любой прямой плоскости ромба, проходящей через точку $$B$$. Поэтому

$$p(M,AB)=p(M,BC)=BM=12{,}5\text{ см}.$$

Найдём расстояние от точки $$M$$ до прямых $$AD$$ и $$CD$$.

Проведём в плоскости ромба высоту $$BH$$ к стороне $$AD$$. Тогда $$BH \perp AD$$. По теореме о трёх перпендикулярах из того, что проекция наклонной $$MH$$ на плоскость ромба — это отрезок $$BH$$, следует $$MH \perp AD$$, значит $$MH$$ и есть расстояние от точки $$M$$ до прямой $$AD$$.

В треугольнике $$ABD$$ имеем $$AB=AD=25\text{ см}$$, а $$\angle BAD=60^\circ$$, значит треугольник $$ABD$$ равносторонний. Тогда

$$BH=AB\sin\angle BAD=25\cdot \sin 60^\circ=25\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\frac{25\sqrt3}{2}\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$MBH$$:

$$MH=\sqrt{MB^2+BH^2}=\sqrt{12{,}5^2+\left(\frac{25\sqrt3}{2}\right)^2}=\sqrt{156{,}25+468{,}75}=25\text{ см}.$$

Следовательно,

$$p(M,AD)=25\text{ см}.$$

Аналогично, так как в ромбе $$\angle BCD=\angle BAD=60^\circ,$$ получаем

$$p(M,CD)=25\text{ см}.$$

Ответ: $$p(M,AB)=p(M,BC)=12{,}5\text{ см},\quad p(M,AD)=p(M,CD)=25\text{ см}.$$