Упр.157 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Прямая $$OK$$ перпендикулярна к плоскости ромба $$ABCD$$, диагонали которого пересекаются в точке $$O$$. а) Докажите, что расстояния от точки $$K$$ до всех прямых, содержащих стороны ромба, равны. б) Найдите это расстояние, если $$OK = 4{,}5$$ дм, $$AC = 6$$ дм, $$BD = 8$$ дм.
Так как $$ABCD$$ — ромб, то его диагонали пересекаются и делятся пополам в точке $$O$$, причём $$AC \perp BD$$. Прямая $$OK$$ перпендикулярна плоскости ромба, значит $$OK \perp AB$$, $$OK \perp BC$$, $$OK \perp CD$$, $$OK \perp AD$$.
Пусть $$p(K,AB)=KM$$, $$p(K,BC)=KN$$, $$p(K,CD)=KP$$, $$p(K,DA)=KL$$.
Тогда по теореме о трёх перпендикулярах проекции наклонных $$KM, KN, KP, KL$$ на плоскость ромба равны соответственно отрезкам $$OM, ON, OP, OL$$, а так как в ромбе треугольники $$AOB$$, $$BOC$$, $$COD$$ и $$DOA$$ равны, то их высоты к сторонам равны. Следовательно,
$$OM=ON=OP=OL,$$
а значит, и
$$KM=KN=KP=KL.$$
Итак, расстояния от точки $$K$$ до всех прямых, содержащих стороны ромба, равны.
Найдём это расстояние. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOB$$:
$$AO=\frac{AC}{2}=3\text{ дм}, \qquad BO=\frac{BD}{2}=4\text{ дм}.$$
Тогда
$$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\text{ дм}.$$
Площадь треугольника $$AOB$$ можно выразить двумя способами:
$$S_{AOB}=\frac12 AB\cdot OM=\frac12 AO\cdot BO.$$
Отсюда
$$OM=\frac{AO\cdot BO}{AB}=\frac{3\cdot 4}{5}=\frac{12}{5}=2{,}4\text{ дм}.$$
Теперь в прямоугольном треугольнике $$KOM$$:
$$KM=\sqrt{OK^2+OM^2}=\sqrt{4{,}5^2+2{,}4^2}=\sqrt{20{,}25+5{,}76}=\sqrt{26{,}01}=5{,}1\text{ дм}.$$
Следовательно, искомое расстояние равно $$5{,}1$$ дм.
Ответ: а) расстояния равны; б) $$5{,}1$$ дм.
