Упр.157 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Прямая OK перпендикулярна к плоскости ромба ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О. а) Докажите, что расстояния от точки K до всех прямых, содержащих стороны ромба, равны. б) Найдите это расстояние, если OK = 4,5 дм, AC — 6 дм, BD = 8 дм.

Обозначим через $$M$$, $$N$$, $$P$$ и $$Q$$ основания перпендикуляров, опущенных из точки $$K$$ на прямые $$AB$$, $$BC$$, $$CD$$ и $$DA$$ соответственно. Тогда $$KM$$, $$KN$$, $$KP$$ и $$KQ$$ — искомые расстояния.

Так как $$OK \perp (ABCD)$$, то проекция наклонной $$KA$$ на плоскость ромба — это отрезок $$OA$$. В ромбе диагонали пересекаются и делятся пополам, значит

$$OA=OC,\qquad OB=OD.$$

Кроме того, диагонали ромба перпендикулярны, поэтому треугольники $$AOB$$, $$BOC$$, $$COD$$ и $$DOA$$ равны по двум катетам. Следовательно, их высоты, опущенные из точки $$O$$ на стороны ромба, равны. Значит, расстояния от точки $$K$$ до всех прямых, содержащих стороны ромба, равны:

$$KM=KN=KP=KQ.$$

Найдём это расстояние.

Пусть $$OH \perp AB$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $$KH \perp AB$$, то есть $$KH=d(K,AB)$$.

В прямоугольном треугольнике $$AOB$$:

$$AO=\frac{AC}{2}=3\text{ дм},\qquad BO=\frac{BD}{2}=4\text{ дм}.$$

Тогда

$$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\text{ дм}.$$

Площадь треугольника $$AOB$$ можно выразить двумя способами:

$$S_{AOB}=\frac12 AO\cdot BO=\frac12 AB\cdot OH.$$

Отсюда

$$OH=\frac{AO\cdot BO}{AB}=\frac{3\cdot 4}{5}=\frac{12}{5}=2{,}4\text{ дм}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$KOH$$:

$$KH=\sqrt{KO^2+OH^2}=\sqrt{4{,}5^2+2{,}4^2}=\sqrt{20{,}25+5{,}76}=\sqrt{26{,}01}=5{,}1\text{ дм}.$$

Следовательно, расстояние от точки $$K$$ до каждой прямой, содержащей сторону ромба, равно $$5{,}1$$ дм.

Ответ

а) $$p(K,AB)=p(K,BC)=p(K,CD)=p(K,DA)$$; б) $$5{,}1\text{ дм}$$.