Упр.156 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Один из катетов прямоугольного треугольника ABC равен $$m$$, а острый угол, прилежащий к этому катету, равен $$\varphi$$. Через вершину прямого угла C проведена прямая CD, перпендикулярная к плоскости этого треугольника, $$CD=n$$. Найдите расстояние от точки D до прямой AB.

Подробный ответ

Пусть $$H$$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $$C$$ на прямую $$AB$$. Тогда $$CH \perp AB$$.

Так как $$CD \perp (ABC)$$, то $$CD \perp AB$$. Кроме того, прямая $$CH$$ лежит в плоскости $$ABC$$ и тоже перпендикулярна $$AB$$. Следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах $$DH \perp AB$$, значит, $$DH$$ — искомое расстояние от точки $$D$$ до прямой $$AB$$.

Найдём $$CH$$. В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ гипотенуза $$AC$$, а катет $$BC=m$$ прилежит к углу $$\varphi$$, поэтому

$$CH=BC\cdot \sin\varphi=m\sin\varphi.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$DCH$$:

$$DH^2=DC^2+CH^2=n^2+m^2\sin^2\varphi.$$

Следовательно,

$$DH=\sqrt{n^2+m^2\sin^2\varphi}.$$

Ответ: $$\sqrt{n^2+m^2\sin^2\varphi}$$.