Упр.156 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Один из катетов прямоугольного треугольника ABC равен m, а острый угол, прилежащий к этому катету, равен ф. Через вершину прямого угла C проведена прямая CD, перпендикулярная к плоскости этого треугольника, CD = п. Найдите расстояние от точки D до прямой AB.

Подробный ответ

Пусть $$H$$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $$C$$ на прямую $$AB$$, то есть $$CH \perp AB$$.

Так как $$CD \perp (ABC)$$, то прямая $$CD$$ перпендикулярна любой прямой плоскости $$ABC$$, в частности $$CD \perp AB$$. Кроме того, $$CH \perp AB$$. Следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах прямая $$DH \perp AB$$.

Значит, расстояние от точки $$D$$ до прямой $$AB$$ равно $$DH$$.

Найдём $$CH$$. В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ гипотенуза $$BC = m$$, а острый угол, прилежащий к этому катету, равен $$\varphi$$. Тогда

$$CH = BC \cdot \sin \varphi = m \sin \varphi.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$DCH$$. В нём $$CD = n$$, $$CH = m \sin \varphi$$, поэтому по теореме Пифагора

$$ DH=\sqrt{CD^2+CH^2} =\sqrt{n^2+m^2\sin^2\varphi}. $$

Следовательно, искомое расстояние равно

$$p(D,AB)=\sqrt{n^2+m^2\sin^2\varphi}.$$