Упр.155 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Через вершину прямого угла $$C$$ равнобедренного прямоугольного треугольника $$ABC$$ проведена прямая $$CM$$, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки $$M$$ до прямой $$AB$$, если $$AC=4\ \text{см}$$, а $$CM=2\sqrt{7}\ \text{см}$$.

Пусть $$MK=p(M,AB)$$, тогда $$MK\perp AB$$.

Так как $$CM\perp (ABC)$$, то проекция наклонной $$MK$$ на плоскость $$ABC$$ — это отрезок $$CK$$. По теореме о трёх перпендикулярах из $$MK\perp AB$$ следует, что $$CK\perp AB$$.

В треугольнике $$ABC$$ имеем $$AC=BC$$ и $$\angle C=90^\circ$$, значит это равнобедренный прямоугольный треугольник. Тогда $$\angle A=\angle B=45^\circ$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AKC$$. В нём $$\angle K=90^\circ$$, $$\angle A=45^\circ$$, значит он равнобедренный, и

$$AK=KC=AC\cos 45^\circ=\frac{4\sqrt2}{2}=2\sqrt2\text{ см}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$MKC$$:

$$MK=\sqrt{MC^2+KC^2} =\sqrt{(2\sqrt7)^2+(2\sqrt2)^2} =\sqrt{28+8} =\sqrt{36}=6\text{ см}.$$

Ответ: $$6\text{ см}$$.