Упр.154 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Прямая BD перпендикулярна к плоскости треугольника ABC. Известно, что BD = 9 см, AC = 10 см, BC = BA = 13 см. Найдите: а) расстояние от точки D до прямой AC; б) площадь треугольника ACD.

Подробный ответ

Так как $$BA=BC$$, то треугольник $$ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$. Проведём высоту $$BH$$ к основанию $$AC$$. В равнобедренном треугольнике эта высота является также медианой, значит $$AH=HC$$.

Из условия $$AC=10\text{ см}$$, поэтому

$$AH=HC=\frac{AC}{2}=5\text{ см}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BHC$$:

$$BH=\sqrt{BC^2-CH^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=12\text{ см}.$$

Так как $$BD\perp (ABC)$$, то $$BD\perp AC$$. Кроме того, $$BH\perp AC$$. Следовательно, прямая $$AC$$ перпендикулярна плоскости $$DBH$$, а значит $$DH\perp AC$$. Поэтому расстояние от точки $$D$$ до прямой $$AC$$ равно $$DH$$.

В прямоугольном треугольнике $$DBH$$:

$$DH=\sqrt{BD^2+BH^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=15\text{ см}.$$

Теперь найдём площадь треугольника $$ACD$$. Основание возьмём $$AC$$, а высота к нему равна $$DH$$:

$$S_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot DH=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 15=75\text{ см}^2.$$