Упр.154 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Прямая $$BD$$ перпендикулярна к плоскости треугольника $$ABC$$. Известно, что $$BD=9\ \text{см}$$, $$AC=10\ \text{см}$$, $$BC=BA=13\ \text{см}$$. Найдите: а) расстояние от точки $$D$$ до прямой $$AC$$; б) площадь треугольника $$ACD$$.

Так как $$BD \perp (ABC),$$ то прямая $$BD$$ перпендикулярна любой прямой плоскости $$ABC,$$ в частности $$BD \perp AC.$$

Рассмотрим равнобедренный треугольник $$ABC$$, где $$AB=BC=13$$ и $$AC=10.$$ Проведём высоту $$BH$$ к основанию $$AC.$$ В равнобедренном треугольнике эта высота является и медианой, значит

$$AH=HC=\frac{AC}{2}=5.$$

В прямоугольном треугольнике $$BHC$$ по теореме Пифагора получаем:

$$BH=\sqrt{BC^2-HC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=12.$$

Так как $$BD \perp AC$$ и $$BH \perp AC,$$ то прямая $$DH$$ также перпендикулярна $$AC$$. Следовательно, расстояние от точки $$D$$ до прямой $$AC$$ равно $$DH$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$DBH$$:

$$DH=\sqrt{BD^2+BH^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=15.$$

Теперь найдём площадь треугольника $$ACD$$. Основание $$AC=10,$$ а высота к нему равна $$DH=15,$$ поэтому

$$S_{ACD}=\frac12 \cdot AC \cdot DH=\frac12 \cdot 10 \cdot 15=75.$$

Ответ: а) $$15$$ см; б) $$75$$ см².