Упр.152 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через вершину $$B$$ квадрата $$ABCD$$ проведена прямая $$BF$$, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояния от точки $$F$$ до прямых, содержащих стороны и диагонали квадрата, если $$BF=8\ \text{дм}$$, $$AB=4\ \text{дм}$$.

Так как $$BF \perp (ABCD),$$ то прямая $$BF$$ перпендикулярна любой прямой плоскости квадрата, проходящей через точку $$B$$. Поэтому

$$p(F,AB)=p(F,BC)=BF=8\text{ дм}.$$

Найдём расстояние от точки $$F$$ до прямой $$AD$$. Поскольку $$AB \perp AD,$$ а $$BF \perp (ABCD),$$ то $$BF \perp AD.$$ Следовательно, прямая $$AF$$ перпендикулярна $$AD,$$ и искомое расстояние равно $$AF$$.

В прямоугольном треугольнике $$ABF$$ по теореме Пифагора:

$$AF=\sqrt{AB^2+BF^2}=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{16+64}=4\sqrt{5}\text{ дм}.$$

Теперь найдём расстояние от точки $$F$$ до диагонали $$AC$$. Диагонали квадрата пересекаются в точке $$O$$ и делятся пополам, значит $$BO=\dfrac{BD}{2}.$$

Диагональ квадрата:

$$BD=AB\sqrt{2}=4\sqrt{2}, \qquad BO=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\text{ дм}.$$

Так как $$BF \perp (ABCD),$$ то $$BF \perp AC.$$ Кроме того, в квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, значит $$BO \perp AC.$$ Следовательно, плоскость $$FBO$$ перпендикулярна прямой $$AC,$$ а потому $$FO$$ — искомое расстояние от точки $$F$$ до прямой $$AC$$.

В прямоугольном треугольнике $$FBO$$:

$$FO=\sqrt{BF^2+BO^2}=\sqrt{8^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{64+8}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\text{ дм}.$$

Ответ: $$p(F,AD)=4\sqrt{5}\text{ дм},\quad p(F,AB)=p(F,BC)=8\text{ дм},\quad p(F,AC)=6\sqrt{2}\text{ дм}.$$