Упр.152 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Через вершину B квадрата ABCD проведена прямая BF, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояния от точки F до прямых, содержащих стороны и диагонали квадрата, если BF = 8 дм, AB = 4 дм.

Подробный ответ

Обозначим через $$p(F,l)$$ расстояние от точки $$F$$ до прямой $$l$$.

Так как $$BF \perp (ABCD)$$, то прямая $$BF$$ перпендикулярна любой прямой плоскости квадрата, проходящей через точку $$B$$. Поэтому

$$p(F,AB)=BF=8\text{ дм}, \qquad p(F,BC)=BF=8\text{ дм}.$$

Аналогично, поскольку $$AB \perp AD$$ и $$BF \perp (ABCD)$$, то прямая $$AF$$ перпендикулярна $$AD$$. Значит, расстояние от точки $$F$$ до прямой $$AD$$ равно $$AF$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABF$$:

$$ AF=\sqrt{AB^2+BF^2}=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{16+64}=4\sqrt{5}\text{ дм}. $$

Следовательно,

$$p(F,AD)=4\sqrt{5}\text{ дм}.$$

Теперь найдём расстояние от $$F$$ до диагонали $$AC$$. Диагонали квадрата пересекаются в точке $$O$$ и делятся пополам, значит $$O$$ — середина $$AC$$. Кроме того, в квадрате $$BD \perp AC$$, а так как $$BF \perp (ABCD)$$, то $$BF \perp AC$$. Следовательно, плоскость $$FBD$$ перпендикулярна $$AC$$, и прямая $$FO$$ является искомым расстоянием от точки $$F$$ до $$AC$$.

Найдём $$BO$$. Диагональ квадрата:

$$ BD=AB\sqrt{2}=4\sqrt{2}\text{ дм}, \qquad BO=\frac{BD}{2}=2\sqrt{2}\text{ дм}. $$

В прямоугольном треугольнике $$FBO$$:

$$ FO=\sqrt{BF^2+BO^2}=\sqrt{8^2+(2\sqrt{2})^2} =\sqrt{64+8}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\text{ дм}. $$

Значит,

$$p(F,AC)=6\sqrt{2}\text{ дм}.$$