Упр.151 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Прямая $$CD$$ перпендикулярна к плоскости треугольника $$ABC$$. Докажите, что: а) треугольник $$ABC$$ является проекцией треугольника $$ABD$$ на плоскость $$ABC$$; б) если $$CH$$ — высота треугольника $$ABC$$, то $$DH$$ — высота треугольника $$ABD$$.

Подробный ответ

а) Рассмотрим треугольник $$ABD$$ и его ортогональную проекцию на плоскость $$ABC$$.

Точка $$D$$ проектируется в точку $$C$$, так как $$CD \perp (ABC)$$. Точки $$A$$ и $$B$$ уже лежат в плоскости $$ABC$$, значит, переходят в самих себя. Следовательно, проекциями сторон треугольника $$ABD$$ на плоскость $$ABC$$ являются отрезки $$AC$$, $$BC$$ и $$AB$$.

Значит, проекцией треугольника $$ABD$$ на плоскость $$ABC$$ является треугольник $$ABC$$.

б) Пусть $$CH$$ — высота треугольника $$ABC$$, тогда $$CH \perp AB$$. Так как $$CD \perp (ABC)$$, то $$CD \perp AB$$. Прямая $$AB$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$CH$$ и $$CD$$, лежащим в плоскости $$DCH$$. По теореме о трёх перпендикулярах получаем $$DH \perp AB$$.

Точка $$H$$ лежит на стороне $$AB$$, значит, $$DH$$ — высота треугольника $$ABD$$.

Ответ: $$\triangle ABC$$ — проекция $$\triangle ABD$$ на плоскость $$ABC$$; $$DH$$ — высота $$\triangle ABD$$.