Упр.151 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Прямая CD перпендикулярна к плоскости треугольника ABC. Докажите, что: а) треугольник ABC является проекцией треугольника ABD на плоскость ABC; б) если CH — высота треугольника ABC, то DH — высота треугольника ABD.

а) Так как $$CD \perp (ABC),$$ то прямая $$CD$$ перпендикулярна любой прямой плоскости $$ABC,$$ в частности $$CD \perp AC$$ и $$CD \perp BC.$$

Точки $$A$$ и $$B$$ уже лежат в плоскости $$ABC,$$ значит, их проекции на эту плоскость совпадают с самими точками $$A$$ и $$B.$$ Точка $$D$$ проектируется в точку $$C.$$ Следовательно, проекцией треугольника $$ABD$$ на плоскость $$ABC$$ является треугольник $$ABC.$$

б) Пусть $$CH$$ — высота треугольника $$ABC,$$ тогда $$CH \perp AB.$$

Так как $$CD \perp (ABC),$$ то $$CD \perp AB.$$ Прямая $$AB$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$CH$$ и $$CD,$$ лежащим в плоскости $$DCH.$$ По теореме о трёх перпендикулярах получаем, что $$AB \perp DH.$$

Точка $$H$$ лежит на прямой $$AB,$$ значит, $$DH$$ — перпендикуляр к стороне $$AB$$ треугольника $$ABD.$$ Следовательно, $$DH$$ является высотой треугольника $$ABD.$$

Ответ

а) $$\triangle ABC$$ — проекция $$\triangle ABD$$ на плоскость $$ABC$$; б) $$DH$$ — высота $$\triangle ABD.$$