Упр.150 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Через вершину $$A$$ прямоугольника $$ABCD$$ проведена прямая $$AK$$, перпендикулярная к плоскости прямоугольника. Известно, что $$KD=6\ \text{см}$$, $$KB=7\ \text{см}$$, $$KC=9\ \text{см}$$. Найдите: а) расстояние от точки $$K$$ до плоскости прямоугольника $$ABCD$$; б) расстояние между прямыми $$AK$$ и $$CD$$.
Так как $$AK \perp (ABCD),$$ то точка $$A$$ — основание перпендикуляра из точки $$K$$ на плоскость прямоугольника. Следовательно, расстояние от точки $$K$$ до плоскости $$ABCD$$ равно $$KA$$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$KAB$$. В нём $$\angle KAB=90^\circ$$, поэтому
$$KA=\sqrt{KB^2-AB^2}.$$
Найдём сначала $$AB$$. В прямоугольном треугольнике $$KAD$$:
$$KD^2=KA^2+AD^2.$$
А в прямоугольном треугольнике $$KAC$$:
$$KC^2=KA^2+AC^2.$$
Так как $$ABCD$$ — прямоугольник, то $$AC^2=AB^2+AD^2.$$ Тогда
$$KC^2=KA^2+AB^2+AD^2.$$
Вычтем из этого равенства формулу для $$KD^2$$:
$$KC^2-KD^2=AB^2.$$
Подставим данные:
$$AB^2=9^2-6^2=81-36=45,$$
$$AB=3\sqrt5.$$
Теперь найдём $$KA$$:
$$KA=\sqrt{KB^2-AB^2}=\sqrt{49-45}=2\text{ см}.$$
Значит, расстояние от точки $$K$$ до плоскости прямоугольника равно $$2$$ см.
Для пункта б) заметим, что $$CD \parallel AB$$, а прямая $$AB$$ лежит в плоскости $$AKB$$. Так как $$AK \perp (ABCD),$$ то $$AK \perp AB$$, следовательно, $$AK \perp CD$$. Значит, расстояние между прямыми $$AK$$ и $$CD$$ равно расстоянию от точки $$A$$ до прямой $$CD$$.
Поскольку $$AD \perp CD$$, это расстояние равно $$AD$$. Найдём $$AD$$ из треугольника $$KAD$$:
$$AD=\sqrt{KD^2-KA^2}=\sqrt{36-4}=\sqrt{32}=4\sqrt2\text{ см}.$$
Ответ: а) $$2$$ см; б) $$4\sqrt2$$ см.
