Упр.150 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Через вершину A прямоугольника ABCD проведена прямая AK, перпендикулярная к плоскости прямоугольника. Известно, что KD = 6 см, KB — 7 см, KC = 9 см. Найдите: а) расстояние от точки K до плоскости прямоугольника ABCD; б) расстояние между прямыми AK и CD.

Подробный ответ

Так как $$AK \perp (ABCD),$$ то точка $$A$$ — основание перпендикуляра из точки $$K$$ к плоскости прямоугольника. Следовательно, расстояние от точки $$K$$ до плоскости $$ABCD$$ равно $$KA$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$KAC$$. В нём $$KC=9$$ см, а $$AC$$ — диагональ прямоугольника. Найдём сначала $$KA$$ из прямоугольного треугольника $$KAB$$:

$$ KB^2=KA^2+AB^2 $$

$$ 49=KA^2+AB^2 $$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$KAD$$:

$$ KD^2=KA^2+AD^2 $$

$$ 36=KA^2+AD^2 $$

Так как $$ABCD$$ — прямоугольник, то $$AB \perp AD$$, а значит, в треугольнике $$ABD$$:

$$ BD^2=AB^2+AD^2 $$

Кроме того, в прямоугольнике диагонали равны, поэтому можно использовать треугольник $$KAC$$:

$$ KC^2=KA^2+AC^2 $$

$$ 81=KA^2+AC^2 $$

Но $$AC^2=AB^2+AD^2$$, значит:

$$ 81=KA^2+AB^2+AD^2 $$

Вычтем из этого равенства уравнение $$49=KA^2+AB^2$$:

$$ 32=AD^2 $$

$$ AD=4\sqrt{2}\text{ см} $$

Теперь из равенства $$36=KA^2+AD^2$$ получаем:

$$ KA^2=36-32=4 $$

$$ KA=2\text{ см} $$

Для пункта б) прямая $$CD$$ лежит в плоскости $$ABCD$$, а $$AK \perp (ABCD)$$, значит $$AK \perp CD$$. Расстояние между прямыми $$AK$$ и $$CD$$ равно расстоянию от точки $$A$$ до прямой $$CD$$, то есть отрезку $$AD$$, так как $$AD \perp CD$$ в прямоугольнике.

Следовательно,

$$ p(AK,CD)=AD=4\sqrt{2}\text{ см}. $$