Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.15 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Окружность с центром $$O$$ касается двух параллельных прямых. Касательная к окружности пересекает эти прямые в точках $$A$$ и $$B$$. Найдите угол $$AOB$$.

Рассмотрим четырёхугольник $$EAMO.$$ В нём сумма углов равна $$360^\circ,$$ причём $$\angle E=\angle M=90^\circ$$ как радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной и параллельным прямым. Тогда

$$\angle A+\angle O=360^\circ-180^\circ=180^\circ,$$

откуда

$$\angle AOM=\frac{1}{2}\angle A.$$

Аналогично для четырёхугольника $$OMBF$$ получаем

$$\angle B+\angle O=180^\circ,$$

значит

$$\angle BOM=\frac{1}{2}\angle B.$$

Так как прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны, то углы $$\angle A$$ и $$\angle B$$ — односторонние, следовательно,

$$\angle A+\angle B=180^\circ.$$

Тогда

$$\angle AOB=\angle AOM+\angle BOM=\frac{\angle A+\angle B}{2}=\frac{180^\circ}{2}=90^\circ.$$

Ответ: $$90^\circ$$.