Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.15 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Высота правильной треугольной пирамиды равна $$20$$, а медиана её основания равна $$6$$. Найдите тангенс угла, который боковое ребро образует с плоскостью основания.

Обозначим через $$H$$ основание высоты пирамиды, то есть $$DH \perp (ABC)$$, $$DH=20$$.

Так как пирамида правильная, то основание $$ABC$$ — равносторонний треугольник, а точка $$H$$ является его центром. Следовательно, $$H$$ лежит на медиане $$AE$$ и делит её в отношении $$2:1$$, считая от вершины $$A$$.

Тогда

$$AH=\frac{2}{3}AE=\frac{2}{3}\cdot 6=4.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ADH$$. Угол, который боковое ребро $$AD$$ образует с плоскостью основания, равен углу $$\angle DAH$$. Поэтому

$$\tg \angle DAH=\frac{DH}{AH}=\frac{20}{4}=5.$$

Ответ: $$5$$.