Подготовка к ЕГЭ Задание 8 Упр.15 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен $$32$$, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём отсечённой треугольной призмы.

В треугольнике $$ABC$$ точки $$D$$ и $$E$$ — середины сторон $$AB$$ и $$BC$$, значит $$DE$$ — средняя линия треугольника. Тогда

$$DE \parallel AC,\qquad DE=\frac{AC}{2}.$$

Плоскость, проведённая через $$DE$$ параллельно боковому ребру призмы, отсекает призму $$EDCFG_1C_1$$. Её основание — треугольник $$DEC$$.

Так как $$D$$ и $$E$$ — середины сторон $$AB$$ и $$BC$$, то треугольники $$ABC$$ и $$DEC$$ подобны, причём коэффициент подобия равен $$\frac{1}{2}$$. Следовательно, отношение их площадей равно

$$\frac{S_{DEC}}{S_{ABC}}=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}.$$

Высота отсечённой призмы равна высоте исходной призмы, поэтому объёмы относятся так же, как площади оснований:

$$V_{EDCFG_1C_1}=\frac{1}{4}V_{\text{приз}}=\frac{1}{4}\cdot 32=8.$$

Ответ: $$8$$.