Упр.15 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что они либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку.

Пусть первые две прямые пересекаются в точке $$A$$.

Рассмотрим третью прямую.

Если она пересекает первую прямую в точке $$B$$, то, так как прямые не совпадают, она пересекает и вторую прямую в некоторой точке $$C$$. Тогда точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ не лежат на одной прямой, а значит, через них проходит единственная плоскость. Следовательно, все три прямые лежат в одной плоскости.

Если же третья прямая пересекает первую прямую в той же точке $$A$$, то она проходит через общую точку $$A$$ первых двух прямых. Значит, все три прямые имеют общую точку.

Итак, три прямые, попарно пересекающиеся, либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку.

Ответ

Что и требовалось доказать.