Упр.15 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что они либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку.

Подробный ответ

Рассмотрим три прямые. Если какие-либо две из них совпадают, то условие задачи не выполняется, поэтому считаем, что все три прямые различны.

Пусть первые две прямые пересекаются в точке $$A$$.

Рассмотрим третью прямую. Если она пересекает первую в точке $$B$$, то, так как совпадающих прямых нет, она пересекает и вторую прямую в некоторой точке $$C$$.

Тогда прямые проходят через три точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$, не лежащие на одной прямой. Через три такие точки можно провести единственную плоскость. Следовательно, все три прямые лежат в одной плоскости.

Если же третья прямая пересекает первую в точке $$A$$, то, поскольку совпадающих прямых нет, она не может пересекать вторую прямую в другой точке. Значит, все три прямые проходят через одну и ту же точку $$A$$.

Итак, три попарно пересекающиеся прямые либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку.