Упр.149 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Отрезок $$AD$$ перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника $$ABC$$. Известно, что $$AB=AC=5\text{ см}$$, $$BC=6\text{ см}$$, $$AD=12\text{ см}$$. Найдите расстояния от концов отрезка $$AD$$ до прямой $$BC$$.

Пусть $$M$$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $$A$$ на прямую $$BC$$. Тогда $$AM$$ — расстояние от точки $$A$$ до прямой $$BC$$.

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, $$AB=AC$$, то высота $$AM$$, проведённая к основанию $$BC$$, является также медианой. Значит,

$$BM=MC=\frac{BC}{2}=\frac{6}{2}=3\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AMC$$ по теореме Пифагора получаем:

$$AM=\sqrt{AC^2-MC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=4\text{ см}.$$

Теперь найдём расстояние от точки $$D$$ до прямой $$BC$$. Так как $$AD\perp (ABC)$$, то $$AD\perp BC$$. Кроме того, $$AM\perp BC$$. Следовательно, прямая $$BC$$ перпендикулярна плоскости $$ADM$$, а значит, $$DM\perp BC$$. Поэтому $$DM$$ и есть искомое расстояние от точки $$D$$ до прямой $$BC$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ADC$$:

$$DC=\sqrt{AD^2+AC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=13\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$DMC$$:

$$DM=\sqrt{DC^2-MC^2}=\sqrt{13^2-3^2}=\sqrt{169-9}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}\text{ см}.$$

Ответ: $$4\text{ см}$$ и $$4\sqrt{10}\text{ см}$$.