Упр.148 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Прямая $$AK$$ перпендикулярна к плоскости правильного треугольника $$ABC$$, а точка $$M$$ — середина стороны $$BC$$. Докажите, что $$MK \perp BC$$.

Подробный ответ

Так как $$\triangle ABC$$ — правильный, то он равносторонний. Точка $$M$$ — середина стороны $$BC$$, значит, $$AM$$ является медианой, а в равностороннем треугольнике медиана одновременно является и высотой. Следовательно, $$AM \perp BC$$.

По условию $$AK \perp (ABC)$$, значит, прямая $$AK$$ перпендикулярна любой прямой плоскости $$ABC$$, в частности $$AK \perp BC$$.

Прямые $$AK$$ и $$AM$$ лежат в плоскости $$AKM$$ и пересекаются в точке $$A$$. Поскольку $$BC$$ перпендикулярна обеим этим прямым, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости получаем:

$$BC \perp (AKM).$$

Тогда любая прямая, лежащая в плоскости $$AKM$$, перпендикулярна $$BC$$, в частности $$KM \perp BC$$.

Ответ: $$KM \perp BC$$.