Упр.147 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Из точки $$M$$ проведён перпендикуляр $$MB$$ к плоскости прямоугольника $$ABCD$$. Докажите, что треугольники $$AMD$$ и $$MCD$$ прямоугольные.

Так как $$ABCD$$ — прямоугольник, то $$AB \perp AD$$ и $$BC \perp CD$$.

Поскольку $$MB \perp (ABCD)$$, то прямая $$MB$$ перпендикулярна любой прямой плоскости $$ABCD$$, в частности $$MB \perp AB$$ и $$MB \perp BC$$.

Рассмотрим треугольник $$AMD$$. Прямые $$AB$$ и $$MB$$ пересекаются и лежат в плоскости $$MAB$$, а прямая $$AD$$ перпендикулярна обеим этим прямым: $$AD \perp AB$$ и $$AD \perp MB$$. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $$AD \perp (MAB)$$, откуда $$AD \perp AM$$. Следовательно, $$\angle MAD=90^\circ$$, значит, $$\triangle AMD$$ прямоугольный.

Аналогично, в плоскости $$MBC$$ прямые $$BC$$ и $$MB$$ пересекаются, а $$CD \perp BC$$ и $$CD \perp MB$$. Поэтому $$CD \perp (MBC)$$, откуда $$CD \perp MC$$. Следовательно, $$\angle MCD=90^\circ$$, значит, $$\triangle MCD$$ прямоугольный.

Ответ: $$\triangle AMD$$ и $$\triangle MCD$$ — прямоугольные.