Упр.147 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Из точки M проведен перпендикуляр MB к плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что треугольники AMD и MCD прямоугольные.

Так как $$ABCD$$ — прямоугольник, то $$AB \perp AD$$ и $$BC \perp CD$$.

Поскольку $$MB \perp (ABCD)$$, то прямая $$MB$$ перпендикулярна любой прямой плоскости $$ABCD$$, в частности $$MB \perp AD$$ и $$MB \perp CD$$.

Рассмотрим треугольник $$AMD$$. Прямые $$AB$$ и $$MB$$ пересекаются и лежат в плоскости $$MAB$$. При этом $$AD \perp AB$$ и $$AD \perp MB$$, значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $$AD \perp (MAB)$$. Следовательно, $$AD \perp AM$$, а значит, $$\angle MAD = 90^\circ$$. Поэтому треугольник $$AMD$$ прямоугольный.

Аналогично, в плоскости $$MBC$$ прямые $$BC$$ и $$MB$$ пересекаются, причём $$CD \perp BC$$ и $$CD \perp MB$$. Значит, $$CD \perp (MBC)$$, откуда $$CD \perp MC$$. Следовательно, $$\angle MCD = 90^\circ$$, и треугольник $$MCD$$ прямоугольный.

Ответ

$$\triangle AMD$$ и $$\triangle MCD$$ — прямоугольные.