Упр.146 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Прямая $$a$$ пересекает плоскость $$\alpha$$ в точке $$M$$ и не перпендикулярна к этой плоскости. Докажите, что в плоскости $$\alpha$$ через точку $$M$$ проходит прямая, перпендикулярная к прямой $$a$$, и притом только одна.
Пусть $$b$$ — проекция прямой $$a$$ на плоскость $$\alpha$$. Тогда точка $$M$$ лежит на $$b$$, так как $$a$$ пересекает плоскость $$\alpha$$ в точке $$M$$.
Через точку $$M$$ в плоскости $$\alpha$$ проведём прямую $$c$$, перпендикулярную прямой $$b$$. Такая прямая существует и единственна.
Докажем, что $$c \perp a$$. Так как $$b$$ — проекция прямой $$a$$ на плоскость $$\alpha$$, то отрезок $$AM$$ является наклонной к плоскости $$\alpha$$, а $$MH$$ — её проекцией. По теореме о трёх перпендикулярах из $$c \perp b$$ следует, что $$c \perp a$$.
Докажем единственность. Пусть в плоскости $$\alpha$$ через точку $$M$$ проходит ещё одна прямая $$d$$, причём $$d \perp a$$. Тогда, поскольку $$d \subset \alpha$$ и $$d$$ проходит через точку $$M$$, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости получаем $$a \perp \alpha$$. Это противоречит условию.
Значит, в плоскости $$\alpha$$ через точку $$M$$ проходит ровно одна прямая, перпендикулярная прямой $$a$$.
