Упр.146 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Прямая а пересекает плоскость а в точке M и не перпендикулярна к этой плоскости. Докажите, что в плоскости а через точку M проходит прямая, перпендикулярная к прямой а, и притом только одна.

Пусть $$b$$ — проекция прямой $$a$$ на плоскость $$\alpha$$. Так как $$a$$ не перпендикулярна плоскости $$\alpha$$, то $$b$$ не совпадает с $$a$$.

Через точку $$M$$ в плоскости $$\alpha$$ проведём прямую $$c$$, перпендикулярную прямой $$b$$. Такая прямая существует и единственна.

Докажем, что $$c \perp a$$. Действительно, прямая $$b$$ является проекцией прямой $$a$$ на плоскость $$\alpha$$, а значит, $$a$$ и $$b$$ лежат в одной плоскости, причём $$b$$ — проекция наклонной $$a$$ на $$\alpha$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах из $$c \perp b$$ следует, что $$c \perp a$$.

Осталось доказать единственность. Предположим, что в плоскости $$\alpha$$ через точку $$M$$ проходит ещё одна прямая $$d$$, такая что $$d \perp a$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах прямая $$d$$ перпендикулярна и проекции $$b$$. Но через точку $$M$$ в плоскости $$\alpha$$ к прямой $$b$$ можно провести только одну перпендикулярную прямую. Значит, $$d=c$$.

Следовательно, в плоскости $$\alpha$$ через точку $$M$$ проходит прямая, перпендикулярная прямой $$a$$, и притом только одна.

Ответ

Через точку $$M$$ в плоскости $$\alpha$$ проходит единственная прямая, перпендикулярная прямой $$a$$.