Упр.145 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Через вершину A прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C проведена прямая AD, перпендикулярная к плоскости треугольника. а) Докажите, что треугольник CBD прямоугольный, б) Найдите BD, если BC = а, DC = b.

Так как $$AD \perp (ABC),$$ то прямая $$AD$$ перпендикулярна любой прямой плоскости $$ABC,$$ проходящей через точку $$A.$$ В частности, $$AD \perp AC$$ и $$AD \perp AB.$$

В треугольнике $$ABC$$ угол $$C$$ прямой, значит $$BC \perp AC.$$ Следовательно, прямая $$BC$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$AD$$ и $$AC,$$ лежащим в плоскости $$ADC.$$ По признаку перпендикулярности прямой и плоскости получаем:

$$BC \perp (ADC).$$

Тогда $$BC \perp DC,$$ так как $$DC$$ лежит в плоскости $$ADC.$$ Значит, $$\angle DCB = 90^\circ,$$ то есть треугольник $$CBD$$ прямоугольный.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$DCB.$$ По теореме Пифагора:

$$BD^2 = DC^2 + CB^2.$$

Подставим данные:

$$BD^2 = b^2 + a^2,$$

откуда

$$BD = \sqrt{a^2+b^2}.$$

Ответ

а) $$\triangle CBD$$ — прямоугольный, $$\angle DCB = 90^\circ$$;
б) $$BD=\sqrt{a^2+b^2}.$$