Упр.145 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через вершину $$A$$ прямоугольного треугольника $$ABC$$ с прямым углом $$C$$ проведена прямая $$AD$$, перпендикулярная к плоскости треугольника. а) Докажите, что треугольник $$CBD$$ прямоугольный; б) найдите $$BD$$, если $$BC=a$$, $$DC=b$$.

Так как $$AD \perp (ABC),$$ то прямая $$AD$$ перпендикулярна любой прямой плоскости $$ABC,$$ проходящей через точку $$A.$$ В частности, $$AD \perp AC$$ и $$AD \perp AB.$$

Поскольку в треугольнике $$ABC$$ угол $$C$$ прямой, то $$BC \perp AC.$$ Следовательно, прямая $$BC$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$AD$$ и $$AC,$$ лежащим в плоскости $$ADC.$$ Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости

$$BC \perp (ADC).$$

Тогда $$BC \perp DC,$$ так как $$DC$$ лежит в плоскости $$ADC.$$ Следовательно, $$\angle DCB = 90^\circ,$$ то есть треугольник $$CBD$$ прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике $$CBD$$ по теореме Пифагора:

$$BD^2 = BC^2 + DC^2 = a^2 + b^2,$$

откуда

$$BD=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Ответ

$$\triangle CBD$$ — прямоугольный, $$BD=\sqrt{a^2+b^2}.$$