Упр.143 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Расстояние от точки $$M$$ до каждой из вершин правильного треугольника $$ABC$$ равно $$4$$ см. Найдите расстояние от точки $$M$$ до плоскости $$ABC$$, если $$AB=6$$ см.

Опустим из точки $$M$$ перпендикуляр $$MO$$ к плоскости $$ABC$$. Тогда $$O$$ — проекция точки $$M$$ на плоскость треугольника.

Так как $$MA=MB=MC=4$$, то точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ лежат на окружности с центром $$O$$, а значит, $$O$$ — центр описанной окружности треугольника $$ABC$$.

Треугольник $$ABC$$ правильный, поэтому радиус его описанной окружности равен

$$R=\frac{AB}{2\sin \angle ACB} =\frac{6}{2\sin 60^\circ} =\frac{6}{2\cdot \frac{\sqrt3}{2}} =2\sqrt3.$$

Следовательно, $$OA=2\sqrt3$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$MOA$$:

$$MO=\sqrt{MA^2-OA^2} =\sqrt{4^2-(2\sqrt3)^2} =\sqrt{16-12} =2.$$

Ответ: $$2\text{ см}$$.