Упр.143 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Расстояние от точки M до каждой из вершин правильного треугольника ABC равно 4 см. Найдите расстояние от точки M до плоскости ABC, если AB = 6 см.

Подробный ответ

Опустим из точки $$M$$ перпендикуляр $$MO$$ к плоскости $$ABC$$. Тогда $$O$$ — проекция точки $$M$$ на плоскость треугольника.

Так как $$MA=MB=MC=4$$, то точка $$O$$ равноудалена от вершин $$A$$, $$B$$ и $$C$$. Следовательно, $$O$$ — центр описанной окружности треугольника $$ABC$$.

Треугольник $$ABC$$ правильный, значит его радиус описанной окружности равен

$$ R=\frac{AB}{2\sin \angle BCA} =\frac{6}{2\sin 60^\circ} =\frac{6}{\sqrt{3}} =2\sqrt{3}\text{ см}. $$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$MOA$$, где $$MO \perp ABC$$, а значит $$MO \perp OA$$. По теореме Пифагора:

$$ OM=\sqrt{MA^2-OA^2} =\sqrt{4^2-(2\sqrt{3})^2} =\sqrt{16-12} =2\text{ см}. $$

Итак, расстояние от точки $$M$$ до плоскости $$ABC$$ равно $$2$$ см.