Упр.140 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Из точки А, не принадлежащей плоскости а, проведены к этой плоскости перпендикуляр AO и две равные наклонные AB и AC. Известно, что ZOAB = ZBAC = 60°, AO = 1,5 см. Найдите расстояние между основаниями наклонных.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$AOB$$. Так как $$AO \perp \alpha$$, а точки $$O$$ и $$B$$ лежат в плоскости $$\alpha$$, то $$AO \perp OB$$, значит, $$\triangle AOB$$ прямоугольный.

По условию $$\angle OAB=60^\circ$$, поэтому

$$\angle OBA=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике сторона, лежащая против угла $$30^\circ$$, равна половине гипотенузы, значит

$$AO=\frac12 AB,$$

откуда

$$AB=2AO=2\cdot 1{,}5=3\text{ см}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ABC$$. По условию $$AB=AC$$, значит, он равнобедренный. Кроме того, $$\angle BAC=60^\circ$$, поэтому

$$\angle ABC=\angle BCA=\frac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ.$$

Следовательно, $$\triangle ABC$$ равносторонний, а значит

$$BC=AB=3\text{ см}.$$