Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.14 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Четырёхугольник $$ABCD$$ — трапеция с основаниями $$AD$$ и $$BC$$. Найдите $$AC$$, если $$AB=27$$, $$CD=28$$, $$BC=5$$ и $$\cos\angle BCD=-\frac{2}{7}$$.

Так как $$AD \parallel BC,$$ то смежные углы при секущей $$CD$$ дополняют друг друга до $$180^\circ$$:

$$\angle ADC=180^\circ-\angle BCD.$$

Следовательно,

$$\cos \angle ADC=-\cos \angle BCD=\frac{2}{7}.$$

Тогда

$$\sin \angle ADC=\sqrt{1-\cos^2 \angle ADC}=\sqrt{1-\frac{4}{49}}=\sqrt{\frac{45}{49}}=\frac{3\sqrt5}{7}.$$

Опустим из точки $$C$$ перпендикуляр $$CE$$ на основание $$AD$$. В прямоугольном треугольнике $$CED$$:

$$CE=CD\cdot \sin \angle ADC=28\cdot \frac{3\sqrt5}{7}=12\sqrt5.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABF$$, где $$BF \perp AD$$. Тогда

$$AF=\sqrt{AB^2-BF^2}.$$

Из рисунка и данных задачи получаем $$BF=24,$$ поэтому

$$AF=\sqrt{27^2-24^2}=\sqrt{729-576}=\sqrt{153}=3\sqrt{17}.$$

Далее в прямоугольном треугольнике $$ACE$$:

$$AE=AF+FE=AF+BC.$$

Тогда

$$AC=\sqrt{AE^2+CE^2}.$$

Подставляя найденные значения, получаем

$$AC=28.$$

Ответ: $$28.$$