Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.14 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В правильном тетраэдре $$ABCD$$ точка $$E$$ — середина ребра $$BD$$. Найдите синус угла между прямой $$AE$$ и плоскостью $$ABC$$.

Пусть $$F$$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $$E$$ на плоскость $$ABC$$. Тогда $$EF$$ — искомая высота точки $$E$$ над плоскостью $$ABC$$, а угол между прямой $$AE$$ и плоскостью $$ABC$$ равен $$\angle AEF$$.

В правильном тетраэдре $$ABCD$$ все грани — равносторонние треугольники. Поэтому в треугольнике $$ABD$$ точка $$E$$ — середина ребра $$BD$$, значит $$AE$$ — медиана, а в равностороннем треугольнике она является и высотой:

$$AE=\frac{AB\sqrt{3}}{2}.$$

Высота правильного тетраэдра равна

$$h=AB\sqrt{\frac{2}{3}}.$$

Так как точка $$E$$ — середина ребра $$BD$$, то её расстояние до плоскости $$ABC$$ равно половине высоты тетраэдра:

$$EF=\frac{h}{2}=\frac{AB}{\sqrt{6}}.$$

Теперь в прямоугольном треугольнике $$AEF$$

$$\sin \angle AEF=\frac{EF}{AE}=\frac{AB/\sqrt{6}}{AB\sqrt{3}/2}=\frac{\sqrt{2}}{3}.$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{2}}{3}$$.