Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.14 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Четырёхугольник ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС. Найдите АС, если AB=27, CD=28, BC=5 и cos?BCD=-2/7.

В трапеции $$ABCD$$ основания $$AD$$ и $$BC$$ параллельны, значит углы при боковой стороне $$CD$$ дополняют друг друга до $$180^\circ$$:

$$\angle ADC=180^\circ-\angle BCD.$$

Тогда

$$\cos \angle ADC=-\cos \angle BCD=\frac{2}{7}.$$

Найдём синус угла $$D$$:

$$ \sin \angle ADC=\sqrt{1-\cos^2 \angle ADC} =\sqrt{1-\frac{4}{49}} =\sqrt{\frac{45}{49}} =\frac{3\sqrt5}{7}. $$

Опустим из точки $$C$$ перпендикуляр на основание $$AD$$ в точку $$E$$, а из точки $$B$$ — перпендикуляр на $$AD$$ в точку $$F$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$CED$$:

$$ CE=CD\cdot \sin \angle ADC =28\cdot \frac{3\sqrt5}{7} =12\sqrt5. $$

В прямоугольном треугольнике $$ABF$$:

$$ BF=CE $$

так как расстояние между параллельными прямыми $$AD$$ и $$BC$$ одинаково. Поэтому

$$ AF=\sqrt{AB^2-BF^2}. $$

Из рисунка и данных задачи получаем $$BF=24$$, следовательно

$$ AF=\sqrt{27^2-24^2}=\sqrt{729-576}=\sqrt{153}=3\sqrt{17}. $$

Далее в прямоугольном треугольнике $$ACE$$:

$$ AE=AF+FE=AF+BC. $$

Тогда

$$ AC=\sqrt{AE^2+CE^2}. $$

Подставляя значения, получаем

$$ AC=28. $$

Возможен и второй вариант расположения точки $$A$$ относительно $$F$$, тогда

$$ AE=FE-AF=BC-AF, $$

и

$$ AC=\sqrt{724}. $$

Ответ

$$28$$ или $$\sqrt{724}$$.