Подготовка к ЕГЭ Задание 6 Упр.14 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Углы $$A$$ и $$B$$ треугольника $$ABC$$ равны $$58^\circ$$ и $$72^\circ$$, высоты $$AA_1$$ и $$BB_1$$ пересекаются в точке $$O$$. Найдите величину угла $$A_1OB_1$$. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике $$ABC$$ найдем третий угол:

$$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=180^\circ-58^\circ-72^\circ=50^\circ.$$

Так как $$AA_1 \perp CB$$ и $$BB_1 \perp AC$$, то

$$\angle A_1=90^\circ,\qquad \angle B_1=90^\circ.$$

Рассмотрим четырехугольник $$A_1OB_1C$$. В нем сумма углов равна $$360^\circ$$, значит

$$\angle A_1OB_1=360^\circ-\angle A_1-\angle B_1-\angle C.$$

Тогда

$$\angle A_1OB_1=360^\circ-90^\circ-90^\circ-50^\circ=130^\circ.$$

Ответ: $$130^\circ$$.