Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.14 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: В правильном тетраэдре ABCD точка Е — середина ребра BD. Найдите синус угла между прямой АЕ и плоскостью АВС.

Пусть $$AB=a$$. В правильном тетраэдре высота из вершины $$D$$ падает в центр равностороннего треугольника $$ABC$$. Обозначим через $$F$$ основание перпендикуляра из точки $$E$$ на плоскость $$ABC$$.

Так как $$E$$ — середина ребра $$BD$$, то в треугольнике $$DBE$$ точка $$E$$ делит отрезок $$BD$$ пополам. В правильном тетраэдре все рёбра равны, а грань $$ABD$$ — равносторонний треугольник, значит

$$AE \perp BD,$$

и в равностороннем треугольнике $$ABD$$ медиана $$AE$$ является также высотой:

$$AE=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Высота правильного тетраэдра равна

$$h=a\sqrt{\frac{2}{3}}.$$

Точка $$E$$ — середина ребра $$BD$$, поэтому её расстояние до плоскости $$ABC$$ равно половине высоты тетраэдра:

$$EF=\frac{h}{2}=\frac{a}{\sqrt{6}}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AEF$$ искомый угол между прямой $$AE$$ и плоскостью $$ABC$$ равен $$\angle EAF$$, поэтому

$$\sin \angle EAF=\frac{EF}{AE}=\frac{a/\sqrt{6}}{a\sqrt{3}/2}=\frac{\sqrt{2}}{3}.$$

Ответ

$$\frac{\sqrt{2}}{3}$$