Упр.138 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен $$\varphi$$.

1. Найдите наклонную и её проекцию на данную плоскость, если перпендикуляр равен $$d$$.
2. Найдите перпендикуляр и проекцию наклонной, если наклонная равна $$m$$.

Рассмотрим треугольник, образованный перпендикуляром к плоскости, наклонной и её проекцией на плоскость. Он прямоугольный, так как перпендикуляр к плоскости перпендикулярен любой прямой этой плоскости, проходящей через основание перпендикуляра.

Обозначим: $$AC$$ — перпендикуляр к плоскости, $$AB$$ — проекция наклонной $$BC$$ на плоскость, $$\angle BAC=\varphi$$.

а)

Если $$AC=d$$, то в прямоугольном треугольнике $$ABC$$

$$\cos\varphi=\frac{AC}{BC}$$
$$BC=\frac{AC}{\cos\varphi}=\frac{d}{\cos\varphi}$$

Кроме того,

$$\tg\varphi=\frac{AB}{AC}$$
$$AB=AC\cdot\tg\varphi=d\cdot\tg\varphi$$

б)

Если $$BC=m$$, то в прямоугольном треугольнике $$ABC$$

$$\cos\varphi=\frac{AC}{BC}$$
$$AC=BC\cdot\cos\varphi=m\cos\varphi$$

и

$$\sin\varphi=\frac{AB}{BC}$$
$$AB=BC\cdot\sin\varphi=m\sin\varphi$$

Ответ: а) $$BC=\frac{d}{\cos\varphi},\ AB=d\cdot\tg\varphi$$; б) $$AC=m\cos\varphi,\ AB=m\sin\varphi$$.